Парадокс

Парадокс (paradox), внутренне противоречивое утверждение, подобное, напр., такому: "все правила имеют исключения". В математике они подрывают веру в надежность (достоверность) мат. истины. Нек-рые из наиб, ранних П. были рассмотрены греч. математиком Зено-ном (исчисление бесконечно малых). Мат. П. возникали прежде всего потому, что математики чрезмерно полагались на интуитивную аргументацию. В течение 19 в. мн. из них пытались устранить П. путем создания систем аксиоматической терии множеств (аксиомы). Однако трудности, с к-рыми столкнулся Георг Кантор в кон. 19 в., рассматривая бесконечные множества, не только привели к открытию П. в множеств теории, но и породили сомнения в возможности перестройки математики. Напр., фундаментальный закон математики гласит, что всякое высказывание либо истинно, либо ложно, но он сам также является высказыванием, след., может быть ложным. Противоречия, подобные этому, говорят о том, что П. свойственны и классич. математике. Представители разл. подходов к основаниям математики (таких, каклогицизм, интуиционизм и формализм) пытались найти выход из сложившейся ситуации, но Курт Тёдель в работах, опубликованных в нач. 1930-х гг., установил, что никакие логические положения, рассматриваемые только сами по себе, не могут гарантировать непротиворечивости мат. теории. Это означает, что возможность возникновения П. в математике вполне реальна.