Топология

Топология (topology), раздел геометрии, изучающий геом. св-ва, сохраняющиеся при непрерывных преобразованиях. Стала развиваться, когда математики поняли, что описания пространства не исчерпываются евклидовой геометрией. Большинство евклидовых понятий не является топологическими инвариантами. Прямая линия может быть скручена; окружность может быть сплющена в овал; нек-рую ограниченную область можно, растягивая, увеличить в размерах, напр., вдвое. С др. стороны, сколько ни растягивай и ни скручивай кольцо, отверстие у него всегда останется; у листа две поверхности, и его нельзя непрерывной деформацией преобразовать в сферу, у к-рой только одна поверхность, или в два листа, имеющих в совокупности четыре поверхности. Это всё - топологически инвариантные св-ва. Такой взгляд на геометрию позволяет мн. упростить в математике - исследовать не неск. "родственных" пространств, а лишь одно топологическое пространство, удовлетворяющее требуемому условию, напр., изучая сферу, мы выявим св-ва, присущие всем пространствам, не имеющим краев (или, иначе, не имеющим границы). Два пространства называются топологически эквивалентными, если каждое из них можно получить из др. с помощью непрерывного преобразования, т.е. без разрезов и разрывов. Среди объектов, представляющих особый интерес для топологов, выделяются Мёбиуса лист, имеющий только один край и одну поверхность, а также бутылка Клейна, к-рая строится след, образом: пропускаем горлышко бутылки через ее боковую поверхность, а затем соединяем отверстие бутылки с отверстием в ее основании так, чтобы получилась односторонняя поверхность. Для построения бутылки Клейна обязательно нужно вырезать отверстие, поэтому она не эквивалентна кольцу. Т. включает теорию множеств и используется при анализе сложных электрич. цепей.