Курсовая работа: Інтерполювання функцій

При  отримуємо постійну різницю п-го порядку  для многочлена (1. 2. 2), кінцеві різниці більш високих порядків дорівнюють нулю.

Тобто, головний висновок із попередніх роздумів: п-і кінцеві різниці многочленна п-ого степеня постійні, а (п+1)-ші і всі наступні рівні нулю.

Однак, більш важливим для розуміння суті поліноміального інтерполювання є твердження, обернене зробленому вище висновку. А саме, що якщо кінцеві різниці п-го порядку деякої функції  постійні в будь-якій точці  при різних фіксованих кроках , то ця функція  є многочлен степеня п.

Для функції , заданої таблицею своїх значень  у вузлах , де , кінцеві різниці різних порядків зручно поміщати в одну загальну таблицю з вузлами і значеннями функції. Цю загальну таблицю називають таблицею кінцевих різниць.

1.2.1 Перша інтерполяційна формула Ньютона

Нехай для функції  задані значення  для рівновіддалених значень незалежної змінної: , де  - крок інтерполяції. Необхідно підібрати поліном  степені не вище п, який приймає в точках  значення

 (1. 2. 3)

Умови (1. 2. 3) еквівалентні тому, що . Слідуючи Ньютону, будемо шукати поліном у вигляді

Використовуючи загальний степінь, вираз (1. 2. 3) запишемо так:

Наша задача заклечається у визначенні коефіцієнтів  полінома . Покладаючи  у вираз (1. 2. 5), отримаємо .

Щоб знайти коефіцієнт , складемо першу кінцеву різницю . Припускаючи в останньому виразі , отримаємо: ; звідки . Для визначення коефіцієнта  складемо кінцеву різницю другого порядку . Покладаючи , отримаємо: ; звідки . Послідовно продовжуючи цей процес, ми виявимо, що , де .

Підставляючи знайдені значення коефіцієнтів  у вираз (1. 2. 5) отримаємо інтерполяційний поліном Ньютона

. (1. 2. 6)

Легко побачити, що поліном (1. 2. 6.) повністю задовольняє вимогам поставленої задачі. Дійсно, по-перше, степінь поліному  не вище п, по-друге,  і

Замітимо, що при  формула (1. 2. 6) перетворюється в ряд Тейлора для функції . Дійсно, Крім того, очевидно, . Звідси при  формула (1. 2. 6) приймає вид поліному Тейлора: .

Для практичного використання інтерполяційну формулу Ньютона (1. 2. 6) зазвичай записують в дещо перетвореному вигляді. Для цього введемо нову змінну  за формулою ; тоді

підставляючи ці вирази у формулу (1. 2. 6), отримаємо:

, (1. 2. 7)

де  являє собою кількість кроків, необхідних для досягнення точки , виходячи із точки . Це і є кінцевий вигляд першої інтерполяційної формули Ньютона.

Формулу (1. 2. 7) вигідно використовувати для інтерполювання функції в околі початкового значення , де  мале за абсолютною величиною.

Якщо у формулі (1. 2. 7) покласти п=1, то отримаємо формулу лінійного інтерполювання: . При п=2 будемо мати формулу параболічного або квадратичного інтерполювання

.

Якщо дана необмежена таблиця значень , то число  в інтерполяційній формулі (1. 2. 7) може бути довільним. Практично в цьому випадку число  обирають так, щоб різниця  була постійною із заданою точністю. За початкове значення  можна приймати довільне табличне значення аргументу .

Якщо таблиця значень функції скінчена, то  - число обмежене, а саме:  не може бути більше числа значень функції , зменшеного на одиницю.

Відзначимо, що при застосуванні першої інтерполяційної формули Ньютона зручно використовувати горизонтальну таблицю різниць, так як потрібні значення різниць функції знаходяться у відповідному горизонтальному рядку таблиці.

1.2.2 Друга інтерполяційна формула Ньютона

Перша інтерполяційна формула Ньютона практично незручна для інтерполювання функції поблизу вузлів таблиці. В такому випадку зазвичай застосовують другу інтерполяційну формулу Ньютона. Виведемо цю формулу.

Нехай маємо систему значень функції  для рівновіддалених значень аргументу , де  - крок інтерполяції. Побудуємо поліном наступного вигляду:

або, використовуючи узагальнену степінь, отримуємо:

. (1. 2. 8)

Наша задача полягає у визначенні коефіцієнтів  таким чином, щоб виконувались умови (1. 2. 3). Для цього необхідно і достатньо, щоб

 (1. 2. 9)

Покладемо  у формулі (1. 2. 8). Тоді будемо мати: , отже .

Далі беремо від лівої і правої формули (1. 2. 8) кінцеві різниці першого порядку

.

Звідси, вважаючи  і враховуючи відношення (1. 2. 9) будемо мати:

. Отже .

Покладаючи  знаходимо: . І таким чином .

Характер закономірності коефіцієнтів  достатньо зрозумілий. Застосовуючи метод математичної індукції, можна строго довести, що

 (1. 2. 10)

Підставляючи ці значення у формулу (1. 2. 8) будемо мати остаточно

 (1. 2. 11)

Формула (1. 2. 11) носить назву другої інтерполяційної формули Ньютона.

Введемо більш зручний запис формули (1. 2. 11). Нехай , тоді

 і т. д.

Підставивши ці значення у формулу (1. 2. 11), отримаємо:

. (1.2.12)

Це і є загальний вигляд другої інтерполяційної формули Ньютона. Для наближеного обчислення значень функції вважають, що .

Як перша, так и друга інтерполяційні формули Ньютона можуть бути використані для екстраполяції, тобто, для знаходження значень функції  для значень аргументів , котрі лежать за межами таблиці. Якщо  і  близько до , то вигідно використовувати першу інтерполяційну формулу Ньютона, причому тоді . Якщо ж  і  близько до , то зручніше використовувати другу інтерполяційну формулу Ньютона, причому тоді . Таким чином, перша інтерполяційна формула Ньютона використовується для інтерполяції вперед і екстраполяції назад, а друга інтерполяційна формула Ньютона, навпаки, – для інтерполяції назад і екстраполяції вперед (див. [8]).

Відмітимо, що операція екстраполяції, взагалі кажучи, менш точна, ніж операція інтерполяції у вузькому значенні слова.

1.2.3 Оцінка похибок інтерполяційних формул Ньютона

Для функції  ми побудували інтерполяційний поліном Ньютона  , який приймає в точках  задані значення . Виникає питання, наскільки близько побудований поліном наближається до функції  в інших точках, тобто наскільки великий залишковий член . Для визначення цього степеня наближення накладемо на функцію  додаткові обмеження. А саме, ми будемо припускати, що в області зміни : , котра містить вузли інтерполювання, функція  має всі похідні  до (п+1)-го порядку включаючи.

Введемо допоміжну функцію

, (1. 2. 12) де  і

 - постійний коефіцієнт, котрий буде обрано нижче.

Функція , очевидно, має п+1 корінь в точках . Підберемо тепер коефіцієнт  таким чином, щоб  мала (п+2)-ий корінь в будь-якій, але фіксованій точці відрізка , яка не співпадає з вузлами інтерполювання (мал. 1). Для цього достатньо покласти

.

Звідси, так як , то

 (1. 2. 13)

При цьому значення множника  функції  має п+2 кореня на відрізку  і буде обертатись в нуль на кінцях кожного з відрізків

. Застосовуючи теорему Ролля [11] до кожного із цих відрізків, переконуємось, що похідна  має не менше п+1 кореня на відрізку .

Малюнок 1. Графік функції

Застосовуючи теорему Ролля до похідної , ми переконаємося, що друга похідна  перетворюється в нуль не менше п разів на відрізку .

Продовжуючи ці роздуми, прийдемо до висновку, що на відрізку  похідна  має хоча б один корінь, котрий позначимо через , тобто .

Із формули (1. 2. 11) так як , маємо: . При , отримуємо:  Звідси . (1. 2. 14)

 Порівнюючи праві частини формул (1. 2. 13) і (1. 2. 14), будемо мати:

, тобто

. (1. 2. 15)

Так як  довільне, то формулу (1. 2. 15) можна записати і так:

, (1. 2. 16)

де  залежить від  і лежить всередині відрізка .

Відмітимо, що формула (1. 2. 16) справедлива для всіх точок відрізка , в тому числі і для вузлів інтерполювання.

На основі формули (1. 2. 16) отримаємо залишковий член першої інтерполяційної формули Ньютона:

, (1. 2. 17)

де  - деяка внутрішня точка найменшого проміжку, що містить всі вузли  і точку .

Аналогічно, покладаючи в формулі (1. 2. 17) , отримаємо залишковий член другої інтерполяційної формули Ньютона:

, (1. 2. 18)

де  - деяка внутрішня точка найменшого проміжку, що містить всі вузли  і точку .

Зазвичай при практичних обчисленнях інтерполяційна формула Ньютона обривається на членах, що містять такі різниці, які в межах заданої точності можна вважати постійними.

Вважаючи, що  майже постійними для функції  і  достатньо малим, і враховуючи, що , наближено можна покласти:

.

В цьому випадку залишковий член першої інтерполяційної формули Ньютона наближено рівний

.

При таких самих умовах для залишкового члена другої інтерполяційної формули Ньютона отримаємо вираз

.

1.3 Інтерполяційні формули Гауса

При побудові інтерполяційних формул Ньютона використовуються лише значення функції, що лежать з однієї сторони початкового наближення, тобто, ці формули носять односторонній характер (див.[3]).

В багатьох випадках виявляються корисними інтерполяційні формули, що містять як наступні, так і попередні значення функції по відношенню до її початкового наближеного значення. Найбільш вживаними серед них являються ті, що містять різниці, розміщені у горизонтальному рядку діагональної таблиці різниць даної функції, що відповідає початковим значенням  і , або в рядках, що безпосередньо примикають до неї. Ці різниці  називаються центральними різницями, причому  і т. д.

Відповідні їм формули називають інтерполяційними формулами із центральними різницями. До їх числа відносяться формули Гауса, Стірлінга і Бесселя.

Постановка задачі. Нехай маємо 2п+1 рівновіддалені вузли інтерполяції:

,

де , і для функції  відомі її значення в цих вузлах , потрібно побудувати такий поліном  степені не вище 2п, що . Із останньої умови випливає, що

 (1. 3. 1)

для всіх відповідних значень і та k.

Будемо шукати поліном у вигляді:

Вводячи узагальнені степені (див [3]), отримаємо:

Застосовуючи для обчислення коефіцієнтів  такий же спосіб, що і при виведенні інтерполяційних формул Ньютона, і враховуючи формулу (1. 3. 1), послідовно знаходимо:

Далі вводячи змінну  і зробивши відповідну заміну у формулі (1. 3. 3), отримаємо першу інтерполяційну формулу Гауса:

або, коротше,

Страницы: 1, 2, 3, 4