Курсовая работа: Построение неполной квадратичной регрессионной модели по результатам полного факторного эксперимента

3.  Расчет дисперсии опыта

Построчная дисперсия для каждого эксперимента определяется по формуле:

                                            (1)

                                                   (2)

где g и nu - номер и количество дублей эксперимента соответственно; - результат g-го повторения u-го эксперимента; - среднее арифметическое значение всех дублей u - го эксперимента; fu - число степеней свободы в u - м опыте при определении u - й построчной дисперсии .

Число степеней свободы – понятие, учитывающее в статистических ситуациях связи, ограничивающие свободу изменения случайных величин. Это число определяется как разность между числом выполненных опытов и числом констант (средних, коэффициентов и пр.), подсчитанных по результатам тех же опытов.

В нашем случае nu = 3, fu = 3 - 1 = 2. Тогда выражение (1) можно переписать следующим образом:

 (3)

Построчная дисперсия по выражению (3) рассчитывается для каждого u - го опыта отдельно. Результаты расчетов построчной дисперсии приведены в табл. 4.

Таблица 4

Результаты расчета построчной дисперсии

регрессия дисперсия дублирование

Приведем пример расчета построчной дисперсии в первом опыте (u = 1):

После определения построчных дисперсий производят проверку воспроизводимости экспериментальных данных. Проверка выполняется в том случае, если имеет место дублирование опытов, что является обязательным правилом при проведении планированного эксперимента. На этой стадии проверяется гипотеза о постоянстве дисперсии шума с использованием критерия Кохрена. Проверка данной гипотезы позволяет судить об однородности или неоднородности ряда дисперсий. Если ряд дисперсий однороден, различные значения функции отклика (y) определяются с одинаковой точностью. Если ряд дисперсий неоднороден, различные значения функции отклика (y) определяются с разной точностью.

Процедура проверки статистических гипотез в общем случае формально предусматривает сравнение некоторого критерия, рассчитанного по экспериментальным данным, с его табличным значением при выбранном заранее уровне значимости a. Уровень значимости a определяет наибольшую вероятность отвергнуть правильную гипотезу, т. е. наибольшую вероятность предположения о том, что экспериментальный результат ошибочен. Например, если уровень значимости выбирают равным 0,05 (что, очень часто делается в технических задачах), то это означает, что допускается 5%-ная вероятность неверного решения и доверительная 95%-ная вероятность верного.

Если найденное по экспериментальным данным значение критерия попадает в область, соответствующую уровню значимости, то проверяемая гипотеза неверна и ее следует отвергнуть, совершив ошибку с вероятностью a. Если же экспериментальное значение критерия попадает в область, соответствующую вероятности (1-a), то проверяемую гипотезу принимают, совершив ошибку, связанную уже с альтернативной гипотезой.

Расчетное значение критерия Кохрена рассчитывается по формуле:

,                                                                 (4)

где - наибольшая в ряду дисперсия, которую сравнивают со значением G - критерия, взятым из табл. А1 (приложение А) в зависимости от уровня значимости a, числа степеней свободы fu и числа опытов N: G(a; fu; N). В рассматриваемом случае fu = 2; N = 8.

Из табл. 4 находим максимальную построчную дисперсию  и Тогда G pacч = 27,93/78,4 = 0,356.

Приняв значение уровня значимости a = 0,05, для числа степеней свободы fu = 2 и числа опытов N = 8 получим следующее табличное значение G-критерия: .

Если G pacч < , ряд дисперсий однороден. Если G pacч > , ряд дисперсий неоднороден.

В рассматриваемом примере G pacч > , т.е. ряд дисперсий неоднороден. Обычно такая ситуация возникает, если среди анализируемых экспериментальных данных имеются грубые ошибки или промахи, связанные с ошибками, допущенными при проведении эксперимента. В таком случае эксперимент следует повторить, тщательно проанализировав его с методологической точки зрения и уделив особое внимание методике сбора и обработки экспериментальных данных. Если при тщательном анализе экспериментальных данных грубых ошибок и промахов не выявлено, неоднородность ряда дисперсий означает, что значения функции отклика (y) действительно определены с разной точностью, однако в каждом отдельном опыте уровень шумов (ошибок) не выходит за границы допустимых значений. Именно такой вывод справедлив для результатов измерений и расчетов, представленных в табл. 4. Во всех дублях значения функции отклика очень плотно группируются относительно средних значений .

4.  Расчет коэффициентов регрессии

Модель изучаемого процесса представим в виде обобщенного уравнения:

y = b0 + S(biXi) + S(bijXiXj) + b123X1X2X3. (5)

Применительно к трехфакторному эксперименту уравнение (5) можно записать в виде:

y = b0 + b1X1 + b2X2 + b3X3 + b12X1Х2 + b13X1Х3 + b23X2Х3 + b123X1X2X3, (6)

где X1, X2, X3 – кодированные значения уровней факторов (табл. 3). Кодированные значения уровней факторов в уравнении (6) могут принимать значения +1 и -1.

Коэффициенты уравнения регрессии (6) рассчитываются по зависимости:

                                            (7)

где u - номер опыта; - кодированные значения уровней варьируемых факторов /независимых переменных X1(Al), X2(Mn), X3(С) / (табл. 3);  - средние арифметические значения функции отклика (интенсивности изнашивания) (табл. 4).

Распишем уравнение (7) для всех коэффициентов, входящих в регрессионную модель (6):

 (8)

Для расчета коэффициентов регрессии составим расширенную матрицу планирования (табл. 5).

Таблица 5

Расширенная матрица плана 23

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6