Дипломная работа: Особенности методики обучения решению текстовых задач с помощью составления уравнений в 5-6 классах

Несмотря на то, что в 5 – 6 классах уже шло формирование у учащихся умение выбирать неизвестное, следует этому вопросу уделить пристальное внимание и в 7 классе, т.к. у многих школьников это умение не сформировалось на нужном уровне. При этом акцент нужно сделать на оптимальный выбор неизвестного. Прежде, почти всегда, за неизвестное принималась одна или несколько величин. Школьникам на конкретных примерах следует показать, что в ряде случаев за неизвестное целесообразно выбирать величину, не относящуюся к искомой.

Главное внимание при обучении учащихся способу решения текстовых задач методом составления уравнений должно быть обращено на сознательную отработку этапности решения. Полная схема включает такие этапы:

1)  объяснение к составлению уравнения;

2)  составление уравнения;

3)  решение уравнения;

4)  проверка;

5)  запись ответа;

6)  анализ решения задачи;

На первом этапе проводится анализ задачи, выделяются объекты и процессы, подлежащие рассмотрению, выделяются величины, характеризующие эти процессы, выбирается неизвестная величина, через которую выражаются остальные.

Далее выявляются основания для составления уравнения и составляется само уравнение. Целью последнего этапа является выявление рациональных путей решения, уяснения и уточнения идеи и метода решения, уяснение общих правил для решения подобных задач.

Подготовительные упражнения

Подготовительные упражнения предназначены для подготовки учащихся к решению задач, с которыми они ранее не встречались. Важное значение для составления уравнений по условию задачи имеют навыки в записи алгебраических выражений, равенств с целью уяснения основных понятий и соотношений: равно, больше на столько-то, больше во столько-то раз, отношение и др..

Для отработки этих понятий и соотношений между ними необходимы систематические упражнения в записи алгебраических выражений.

v  Большое значение имеет запись формул, выражающих функциональную зависимость между величинами. Приведем упражнения, которые целесообразно давать систематически, повторяя их время от времени.

1.  Скорость движения тела V, время движения t , путь S. Запишите формулы для определения S, V, t.

2.  Цена товара k, количество m, стоимость с. Запишите формулы зависимости между c, k и m.

3.  Производительность – p деталей в час, время работы – t часов, объем произведенной продукции – n деталей. Запишите формулы для определения p, t, n

v  Цель следующих заданий: формирование умений анализировать условие, исследовать корни, соотносить их с условием задачи.

При решении задач с помощью уравнений могут возникнуть затруднения, связанные с выделением из условия задачи величин, связанным какими-либо зависимостями.

Можно предложить учащимся следующие упражнения:

1.  Прочитайте задачу и ответьте на вопросы.

Теплоход за час проходит расстояние, в 4 раза меньше, чем катер. Сколько километров в час проходит каждый из них, если сумма их скоростей равна 90 км/ч?

Вопросы:

1)  Назовите величины, связанные следующими зависимостями:

а) одна больше другой в 4 раза;

б) одна меньше другой в 4 раза;

2)  Если теплоход проходит х км в час, то что могут означать следующие выражения:

4х, 4х + х?

v  Цель: развитие воображения учащихся, формирование умений читать схематически записи условий.

Задание: по схематической записи составить задачу.

а)

б)

v  Цель заданий: первичное закрепление знаний об этапах решения задач.

Решить задачу, составив уравнение. На полке стояло несколько книг. Когда с нее сняли 10 книг, то на полке стало 25 книг. Сколько книг было на полке?

I.  Анализ задачи.

Переведем задачу на математический язык.

Было несколько книг    х

сняли 10 книг                10

стало 25 книг                          25

Т.к. неизвестно, сколько книг было на полке, то это и обозначили х.

II.  Составим уравнение.

 х – 10 = 25

было сняли стало

III.  Решаем уравнение.

х – 10 = 25

Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое.

х = 25 + 10

х = 35

IV.  Ответ: 35 книг было на полке.

Работа с задачей.

Задача: «В двух книгах 70 страниц. В первой книге страниц в 6 раз больше, чем во второй. Сколько страниц в каждой книге?»

I.  1) О чем говорится в задаче? (о двух книгах).

2) В какой книге больше страниц? (в первой книге).

3)  В какой книге меньше страниц? (во второй книге).

4)  Что известно о количестве страниц в каждой книге? (в первой книге в 6 раз больше)

5)  Наименьшее обозначим за «х». Что такое х в задаче? (х – количество страниц во второй книге).

6)  Как выразить количество страниц в 1-ой книге? (6х)

7)  Сколько всего страниц в двух книгах? (70 страниц).

Схематическая запись.

II.  Основание составления уравнения: 70 страниц.

III.  Составление уравнения:

х + 6х = 70

IV.  Решение уравнения:

х + 6х = 70

х (1 + 6) = 70

7х = 70

х = 70 : 7

х = 10

V.  10 страниц во второй книге.

VI.  В задаче спрашивалось, сколько страниц в каждой книге. Значит, надо найти, сколько страниц в первой книге.

По условию это: 6х. Найдем значение этого выражения.

10 · 6 = 60 (с).

VII.  Найдены все величины. Можно записать ответ:

Ответ: 10 страниц во второй книге, 60 страниц в первой книге.

§2. Решение задач с помощью составления уравнений в теме

«Прямая и обратная пропорциональные зависимости»

Рассмотрим этапы изучения этой темы.

Во-первых, надо научить школьников решать пропорции. Основной способ их решения должен опираться на основное свойство пропорций. Когда эта цель будет достигнута, то можно показать использование свойств пропорций для упрощения их решения.

Во-вторых, нужно научить школьников выделять в условиях задач две величины, устанавливать вид зависимости между ними.

В-третьих, нужно научить их по условию задачи составлять пропорцию. При решении первых задач полезно подчеркнуть, что стоимость покупки определяется по формуле:

стоимость = цена · количество

и проследить, как при увеличении (уменьшении) одной величины в несколько раз изменяется вторая величина при неизменной третьей.

Аналогичная работа с задачами проводится по формуле:

путь = скорость · время

1.  За несколько одинаковых карандашей заплатили 8 р. Сколько нужно заплатить за такие же карандаши, если их:

а) в 2 раза больше;

б) в 2 раза меньше?

2.  Имеются деньги на покупку 30 карандашей.

а) Сколько тетрадей можно купить на те же деньги, если тетрадь дешевле карандаша в 2 раза?

б) Сколько ручек можно купить на те же деньги, если ручка дороже карандаша в 10 раз?

Наблюдения, полученные учащимся при решении задач 1,2, нужно использовать при формировании понятий прямой и обратной пропорциональности.

Две величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая увеличивается (уменьшается) во столько же раз.

Две величины называются обратно пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая уменьшается (увеличивается) во столько же раз.

Дальше, опираясь на опыт решения задач 1,2 т определения, учащиеся должны ответить на вопросы заданий 3,4,5. Здесь следует постоянно обращать их внимание на то, какие величины изменяются, а какие нет.

3.  Какова зависимость между:

1)  ценой одной ручки и стоимостью нескольких ручек при постоянном их количестве?

2)  Количеством ручек и их стоимостью при постоянной их цене?

3)  количеством ручек и их ценой при постоянной их стоимости?

4.  Какова зависимость между:

1)  количеством тракторов и площадью, которую они вспашут за 1 день?

2)  числом дней работы и площадью, которую он вспашет?

3)  количеством тракторов и числом дней, за которые они вспашут поле?

5.  Покупают одинаковые альбомы. Какова зависимость между количеством альбомов и стоимостью покупки?

Работу над заданиями 2,3 надо обобщить, заметив, что если три величины связаны равенством а = b · с, то при постоянном произведении множители обратно пропорциональны, а при постоянном множителе другой множитель и произведение прямо пропорциональны. Этот факт нужно рассмотреть применительно к формулам:

стоимость = цена · количество,

путь = скорость · время,

работа = производительность · время.

Перейдем к решению задач с помощью пропорций.

6.  Расстояние между двумя городами пассажирский поезд прошел со скоростью

80 км/ч за 3 ч. За сколько часов товарный поезд пройдет то же расстояние со скоростью 60 км/ч?

Скорость (км)               Время (ч)

80  3

40  х

В краткой записи условия задачи стрелки показывают, что скорость уменьшилась, а время увеличилось в одно и то же число раз. Это число находится делением большего числа на меньшее (в направлении стрелок). Чтобы учащиеся лучше освоили прием составления пропорций, надо постоянно задавать вопрос: «Во сколько раз увеличилась (уменьшилась) первая величина?» Тогда число, дающее ответ, будет находиться делением большего значения величины на меньшее (в направлении стрелок). На первых порах это число должно быть целым, позднее – дробным.

7.  5 маляров могли покрасить забор за 8 дней. За сколько дней покрасят тот же забор:

а) 10 маляров; б) 1 маляр?

Чтобы у учащихся не сложилось впечатление, будто зависимость бывает только двух видов – прямой и обратной пропорциональностью, полезно рассмотреть провокационных задачи, в которых зависимость имеет другой характер.

8.  За 3 ч поймали 12 карасей. Сколько карасей поймают за 4 ч?

9.  Два петуха разбудили 6 человек. Сколько человек разбудят пять петухов?

10.Трое пошли – три гвоздя нашли. Четверо пойдут – много ли найдут?

До сих пор мы рассматривали задачи, в которых отношение двух неизвестных значений одной величины было целым числом. В следующих задачах оно часто выражается дробью. Как и раньше, здесь следует постоянно задавать вопрос: «Во сколько раз увеличилась (уменьшилась) величина?»

11.Из «Арифметики» А.П. Киселева. 8 аршин сукна стоят 30 р. Сколько стоят 15 аршин этого сукна?

12.Со скоростью 80 км/ч товарный поезд прошел 720 км. Какое расстояние пройдет за это же время пассажирский поезд, скорость которого 60 км/ч?

13.За одно и то же время токарь обтачивает 6 деталей, а его ученик – 4 детали.

1)  Сколько деталей обточит ученик за то же время, за которое токарь обточит 27 деталей?

2)  Сколько времени потратит ученик на задании, которое токарь выполняет за 1ч?

После изучения основных понятий в этих темах («Пропорции», «Прямая и обратная пропорциональности»), учащиеся решают соответствующие задачи.

Подготовительные упражнения

Рассмотрим некоторые подготовительные упражнения, которые можно давать учащимся, чтобы сформировать у них навыки и умения устанавливать зависимости между величинами.

1. Какую часть одно число составляет от другого?

а) 4 от 20; б) 7 от 15; в) 10 от 20; г) 13 от 21

2. Найдите отношения и придумайте отношения, значения которых равны заданным:

а) 25 к 5; б) 0,25 к 0,55; в) 1,37 к 1,3; г) 6 к 27

3. Что показывает отношение:

а) пути, пройденного автомобилем, ко времени его движения;

б) числа деталей ко времени из изготовления;

в) стоимости купленных апельсинов к их массе?

4. Дана пропорция, найти выражение, которое не является пропорцией, выведенной из данной:

1) а : 20 = 4 : 8

а)  а : 4 = 20 : 8;

б)  8 : 20 = 4 : а;

в)  20 : а = 4 : 8;

г)  20 : а = 8 : 4.

2) 8 : 21 = b : 30

а)  b : 21 = 30 : 8;

б)  8 : b = 21 : 30;

в)  8 : 30 = b : 21;

г)  8 : 21 = 30 : b.

1.  Проверьте, используя основное свойство пропорции, следующие равенства. Какие из них являются пропорцией, а какие нет?

а) 4 : 3 = 36 : 26

б)  =

в) 2 : 9 = 1 : 39

г)  =

д) 3 : 7,5 = 2,5 : 6

2.  Какова зависимость между:

1)  временем и скоростью движения при постоянном пути?

2)  количеством тракторов и числом дней, за которые они вспашут поле?

3.  Установите зависимость:

1)  За х кг апельсинов заплатили p рублей. Как изменится стоимость покупки, если массу апельсинов увеличили в 5 раз; уменьшили в 2 раза?

4.  Расстояние от деревни до города велосипедист проехал за 3 часа.

1)  За сколько часов это расстояние пройдет пешеход, скорость которого в 3 раза меньше скорости велосипедиста?

2)  За сколько часов это расстояние пройдет мотоциклист, скорость которого в 5 раз больше скорости велосипедиста?

При решении этих задач учащиеся повторят, что такое отношение, как оно составляется, понятие пропорции, ее свойства, установление прямой или обратной пропорциональности между величинами.

Понятно, что если в задаче говорится о двух величинах, то краткая запись будет выглядеть следующим образом:

I вел. – II вел.

Изменение I вел. – II вел.

При этом проверяется зависимость первой величины от второй или наоборот. Если при увеличении / уменьшении первой величины в n раз, во столько же увеличится / уменьшится II величина, то это прямая пропорциональность.

Обозначение вводится с помощью стрелочек, которые «смотрят» в одну сторону.

I вел. – II вел.

I изм. вел. – II изм. вел.

Для обратной пропорциональности при соответствующем определении для нее, стрелочки будут иметь разное направление:

I вел. – II вел.

I изм. вел. – II изм. вел.

Т.к. в пропорции четыре составляющие, то три из них должны быть оговорены в задаче. А четвертую и будем обозначать неизвестной.

Приведем пример: «В 200 г раствора содержится 4 г соли. Сколько соли содержится в 600 г раствора?»

Составив схематическую запись для этой задачи, получим:

раствор       соль

Было                     200 г                   –        4 г

Спрашивается 600 г     –        х г

Теперь выясняем зависимость и ставим стрелочки.

200 г –       4 г

600 г           –        х г

При рассуждении учащиеся используют свой практический опыт. Вид пропорциональности устанавливается на основе закономерности; «законов» логики в соотношении между величинами. У учащихся развивается воображение, самоконтроль за выполнением своих действий.

Работа с задачей и схема работы на уроке

Теперь рассмотрим работу по решению задач на выполнение конкретных задач, опираясь на приведенную схему (этапы).

Для перевозки груза потребовалось 15 машин грузоподъемностью 7,5 т. Сколько нужно машин грузоподъемностью 4,5 т, чтобы перевезти тот же груз?

1)  Ученикам задаются следующие вопросы:

1.  Что является объектом исследований? (количество машин грузоподъемностью 4,5 т)

2.  Что они должны делать? (перевезти тот же груз)

3.  Сколько машин перевезли этот груз, грузоподъемностью каждая по 7,5 т? (15)

4.  Что неизвестно? Как обозначим? (кол-во машин; обозначим неизвестной х)

II. Составим краткую запись условия:

15 – 7,5 т

х – 4,5 т

1)  Груз тот же, но каждая из машин теперь может увезти меньшую массу – 4,5 т. Увеличится или уменьшится количество машин, которые перевезут груз? (увеличится).

2)  А число машин увеличилось или уменьшилось? (увеличилось).

3)  Какая это пропорциональность? (обратная)

15 – 7,5 т

х – 4,5 т

III. Составим пропорцию. Она будет являться уравнением.

          15 – 7,5 т

          х – 4,5 т

Стоит обратить внимание на то, как составляется пропорция:

а) записываются два отношения в соответствии со стрелками;

б) между ними ставится знак равенства.

IV. Теперь надо найти неизвестное х. Для этого удобно использовать основное равенство пропорции.

15 · 7,5 = х · 4,5

х · 4,5 = 112,5

х = 112,5 : 4,5

х = 25

V. В задаче в качестве х обозначали количество машин, что и спрашивалось в вопросе. Поэтому мы нашли ответ. Т.к. использовали свойство пропорции и известный алгоритм решения уравнений, то все действия законны и вычисления верны. Осталось посмотреть соответствие ответа смыслу поставленного вопроса. Значение неизвестной х – это и есть количество машин, т.е. то, что спрашивалось в задаче. Можем записать ответ.

VI. Ответ: 25 машин грузоподъемностью 4,5 т потребуется.

VII. Исследование задачи можно не проводить, т.к. известен только один путь ее решения с помощью пропорции. В задачах по этой теме этапы выявления основания и анализ решения задачи не имеют места. Ошибки у учащихся возможны при установлении вида зависимости. Поэтому они в процессе решения должны обдумывать смысл слов, осмысленно выявлять зависимость, чтобы в дальнейшем правильно записать пропорцию.

Заключение

Умение решать задачи является одним из основных показателей уровня математического развития школьников, глубины усвоения учебного материала. Поэтому любой экзамен по математике, любая проверка знаний содержит в качестве основной и, пожалуй, наиболее трудной части решение задач.

За время обучения в школе ученик решит огромное число задач, и, как правило, много из них однотипные. Однако в итоге некоторые ученики овладевают общим умением решения задач, а многие, встретившись с задачей незнакомого или малоизвестного вида, теряются и не знают, как ее решать.

И одной из причин такого положения является то, что одни ученики вникают в процесс решения задач, стараются понять, в чем состоят приемы и методы решения задач. Другие же не задумываются над этими, стараются лишь как можно быстрее решить заданные задачи. Эти учащиеся не анализируют в должной степени решаемые задачи и не выделяют из решения общие приемы и способы. Задачи зачастую решаются лишь ради получения ответа.

У большинства учащихся, весьма смутные, а порой, и неверные представления о сущности процесса поиска решения задач, о самих задачах. Как могут учащиеся решить сложную задачу, если они не представляют, из чего складывается анализ задачи? Как могут они решить задачу на доказательство, если они не знают, в чем смысл доказательства?

А можно ли научиться решать любую задачу?

Конечно, любые задачи научиться решать невозможно, ибо как бы хорошо ученик не умел решать задачи, всегда может встретиться такая, которую он решить не сможет.

Ясно, что рассчитывать на изображение методики обучения решению задач, пригодной для всех детей и во всех случаях – все равно, что искать универсальное лекарство от всех болезней. Практическая ценность обучения школьников решению текстовых задач разнообразными способами в современных условиях заключается совсем не в том, чтобы раз и навсегда вооружить их приемами решения различных задач, которые будут возникать в дальнейшем обучении, а в том, что оно обогатит их опыт мыслительной деятельности. Ведь определенный прием решения задач может быть просто забыт или вытеснен в дальнейшем обучении общим приемом. Для того, чтобы развитие качества, таких как сообразительность, смекалка, не было подобным результатом процесса обучения решению текстовых задач, а было закономерным планируемым результатом обучения, необходима специальная организация самого процесса обучения.

Цель дипломной работы заключалась в том, чтобы рассмотреть методику работы над задачами, которые решаются методом составления уравнений, и разработать рекомендации по обучению учащихся отыскивать пути решения задач с помощью составления уравнений.

Работа состояла из трёх основных частей.

Первая глава дипломной работы посвящена психологическим особенностям учащихся в возрасте 10 – 12 лет, дидактическим принципам обучения.

Во второй главе рассказывается о сущности задач, их функциях и излагаются этапы обучения решения задач с помощью составления уравнений.

В третьей главе показана работа с текстовыми задачами в темах: «Уравнения» и «Пропорции».

Апробация проводилась в школе №703 в 5 и 6 классах по темам: “Уравнения” и “Прямая и обратная пропорциональные зависимости” соответственно.

В процессе обучения учащиеся познакомились с этапами решения задач с помощью составления уравнений, научились анализировать условие задачи, осознали необходимость исследования корней уравнения, составлять алгебраические выражения. На уроке при решении задач учащиеся выбирали схематическую запись вместе с классом, затем самостоятельно проводили решение. Ответы проверялись в устной форме: учащиеся рассказывали ход решения задачи, а потом обосновывали ответ.

При решении задач у учащихся 5 класса возникали следующие трудности:

1)  трудности, связанные с разделением условия на логические составляющие;

2)  трудности в выборе схематической записи для конкретной задачи, ее оформлении;

3)  в выборе величины, которую необходимо обозначить переменной «х».

Эти трудности возникли из-за того, что:

1)  учащиеся неосознанно читали условия задачи;

2)  как следствие неосознанного чтения задачи, не могли выявить процессы, описываемые в задаче.

Поэтому учащиеся не видели, что им дано, а какие величины можно брать в качестве неизвестной.

В 6-ом классе возникали трудности:

1)  в установлении вида зависимости;

2)  в решении пропорции.

Первая трудность связана с тем, что учащиеся не пытались анализировать закономерности, которые встречались им в жизни. Они их, очевидно, просто не видели.

Вторая трудность была связана с том, что учащиеся на тот момент плохо владели умением применять свойство пропорции, что в свою очередь приводило к неправильным результатам в вычислениях.

Очень эффективно проводить на уроке либо фронтальную работу, либо давать учащимся задания на карточках для индивидуальной работы. Со слабыми учащимися надо проводить отдельные консультации, на которых им кроме указанных заданий можно предложить самостоятельно воспроизвести решение задачи, разобранной на уроке. Так как решать задачи учащимся придется в течение всего обучения, то им надо объяснить необходимость решать задачи с помощью составления уравнений.

Библиография

1.  Волович М.Б. Ключ к пониманию математики. – М., 1997.

2.  Глейзер Г.И. История математики в школе: 4 – 6 классы: Пособие для учителей. – М., Просвещение, 1984.

3.  Гусев В.А. Как помочь ученику полюбить математику. – М., 1994.

4.  Далингер В.А. Обучение учащихся решению текстовых задач методом составления уравнений. – Омск, 1991.

5.  Захарова А.Е. Текстовые задачи в курсе алгебры основной школы. Учебно-методические материалы спецкурса по методике преподавания математики «Избранные вопросы обучения алгебре в основной школе». М.: «Прометей», 2002.

6.  Колягин Ю.М. Задачи в обучении математике: т.2. – М.: Просвещение, 1997.

7.  Крутецкий В.А. Основы педагогической психологии. – М.: Просвещение, 1972.

8.  Леонтьев А.Н. Деятельность. Сознание. Личность. – М.: «Мысль», 1975.

9.  Лященко Е.И. Проблема задач в школьном курсе математики. Задачи как цель и средство обучения математике учащихся средней школы. – ЛГПИ им. А.И. Герцена, 1981.

10.  Математика в 5 классах: В помощь учителю / Под ред. А.И. Маркушевича. – М.: Просвещение, 1971.

11.  Математика: 5-11 кл.: Программы. Тематическое планирование: Для общеобразоват. шк., гимназий, лицеев. /М-во образования РФ; Сост. Г.М.Кузнецова, Н.Г.Миндюк. – М.: Дрофа, 2000.- 320 с.

12.  Математика: Учебник для 5 кл. общеобразоват. учреждений / Н.Я.Виленкин, В.И. Жохов, А.С.Чесноков, С.И.Шварцбурд. – 5-е изд., испр. И доп. – М.: Издательство “Русское слово” , 1998. – 358 с. ил.

13.  Математика: Учебник для 6 кл. общеобразоват. учреждений / Н.Я.Виленкин, В.И. Жохов, А.С.Чесноков, С.И.Шварцбурд. – 6-е изд.– М.: Мнемозина, 1999. – 304 с.: ил.

14.  Мухина В.С. Возрастная психология: Учебник. – М.: «Академия», 1999.

15.  Оганесян В.А. и др. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика. – М., 1980.

16.  Орехов Ф.А. Решение задач методом составления уравнений. – М.: Просвещение, 1971.

17.  Пойа Д. Как решать задачу: Пособие для учителей. М., 1961.

18.  Пойа Д. Математическое открытие. – М.: Наука, 1970.

19.  Саранцев Т.И. Общая методика преподавания математики: Учебное пособие для студентов математических специальностей педагогических вузов. – Саранск, 1999.

20.  Саранцев Г.И. Упражнения в обучении математике. – М.: Просвещение, 1995.

21.  Совайленко В.К. Система обучения математике в 5 – 6 классах: Из опята работы. – М.: Просвещение, 1991.

22.  Сорокин П.И. Занимательные задачи по математике с решениями и методическими указаниями: Пособие для учителей I – IV кл. – М.: 1967

23.  Шатилова А.В. Обучение школьников составлению математических задач: учебно–методическое пособие для студентов физико–математических факультетов педагогических вузов. – Издательство БГПИ, 1999.

24.  Шевкин А.В. Обучение решению текстовых задач в 5 – 6 классах. – М.: Рус. слово, 2001.

25.  Фридман Л.М. Психолого-педагогические основы обучения математике в школе. – М.: Просвещение, 1983.

26.  Фридман Л.М., Турецкий Е.Н. Как научиться решать задачи: Пособие для учащихся. – М.: Просвещение, 1984.