Законы сохранения механики

– груз с нитью – 1 шт.

Устройство и принцип работы

Установка представляет собой горизонтально расположенный вал 1 (рис. 3), закрепленный на основании 2, на котором расположены массивный маховик 3 и два шкива различного диаметра 4. При выполнении лабораторной работы на один из шкивов наматывается нить, на которой закреплен груз 5. Для закрепления нити на шкивах предусмотрены штыри 6.

Момент инерции определяется по результатам измерения времени падения груза с высоты Н. В рабочем положении установка располагается на краю лабораторного стола так, чтобы груз мог опускаться вниз до пола. Для выполнения работы на установке необходимы дополнительные измерительные приборы: штангенциркуль, секундомер и линейка.

Вывод расчетных формул

Для вывода расчетной формулы используем закон изменения полной механической энергии для системы, в которой действуют диссипативные силы: dW = dАдис. Рассматриваемая механическая система состоит из груза массой m и маховика со шкивом и валом с моментом инерции I. В тот момент, когда груз поднят над полом на высоту Н, система обладает потенциальной энергией mgH. При падении груза потенциальная энергия превращается в кинетическую груза и маховика. Изменение полной механической энергии за время падения груза равно работе силы трения:

mv2/2+ I w2/2 – mgH = А1, (1)

где A1 – работа силы трения за n1 оборотов маховика. Силу трения можно считать постоянной. Тогда движение груза можно считать равноускоренным и описать его уравнениями

v = at; H = gt2/2 ;(2)

из этих уравнений получается

v = 2Н/t; (3)

угловая скорость вращения маховика

w=2H/rt, (4)

где а – линейное ускорение груза;

v – его скорость непосредственно перед ударом о пол;

w – угловая скорость маховика в тот же момент времени;

t – время падения груза до пола;

r – радиус шкива.

Для определения момента инерции маховика необходимо найти работу силы трения за время падения груза. Если сила трения постоянна, то ее работа пропорциональна числу оборотов маховика. Тогда работу силы трения за время падения груза можно выразить как А1= сn1, а работу силы трения от момента соприкосновения груза и пола до полной остановки маховика А2=сn2, где n2 – число оборотов до полной остановки маховика. С другой стороны, А2 равна изменению кинетической энергии маховика 0 – Iw2/2=А2=сn2, откуда получаем

с = Iw2/2n2

и А1 = – n1w2/2n2 . (5)

Выраженную таким образом работу Ai подставим в равенство (1):

(mv2/2 + Iw2/2) – mgH = – n1I w2/2n2.

После замены v и w в соответствии с формулами (3) и (4) получаем значение момента инерции:

I = mr2(gt2 – 2Н)/ 2Н(1 + n1/n2).                                                        (6)

Так как r=d/2 и в нашей работе gt2?2H, окончательно получаем:

I=md2gt2/8H(1+n1/n2). (7)

Порядок выполнении работы

1. Штангенциркулем пять раз измерить диаметры шкивов и записать результаты в таблицу 1.

2. Надеть петлю, имеющуюся на свободном конце нити, привязанной к грузу, на штырь шкива. Вращая маховик, поднять груз на высоту Н. Высоту следует выбрать так, чтобы она соответствовала целому числу оборотов n1. Для этого при нижнем положении груза (груз чуть касается пола, нить натянута) на маховике мелом наносят горизонтальную черту. За этой чертой нужно следить при наматывании нити на шкив.

3.Измерить высоту поднятия груза над полом при помощи вертикально поставленной линейки.

4.Отпустить маховик, одновременно включив секундомер. Остановить секундомер в момент удара груза об пол. Результат записать в таблицу 2.

5.Подсчитать число оборотов n2 от момента удара груза об пол до полной остановки маховика. Опыты 3, 4, 5 повторить 5 раз.

6.Повторить измерения, наматывая нить на другой шкив. Записать результаты в табл. 3.

Таблицы результатов измерений

1. Данные установки: m = (600 ± 1) г.

2. Измерение Н и n1:

при намотке нити на первый шкив: H1 =...., DH1 =..., n11=...,

при намотке на второй шкив: Н2 =..., DH2 =..., n12=....

3. Измерение диаметров шкивов:

Таблица 1

4. Измерение t и n2 для первого шкива:

Таблица 2

для второго шкива

Таблица 3

Обработка результатов измерений

1. В конце каждой таблицы рассчитать средние значения измеренных величин и случайные погрешности измерений.

2. По формуле (7) рассчитать момент инерции маховика для измерений с первым и вторым шкивами.

3. Рассчитать погрешность I для одного из случаев по формуле:

(DI/I)2=(Dm/m)2+ 4(Dd/d)2 + 4(Dt/t)2 + (DН/Н)2 +..+(Dn2/n2)2n12/(n1+n2)2.

4. Сравнить результаты расчетов I при работе с первым и вторым шкивами. Дополнительное задания: рассчитать силы натяжения нити, моменты этих сил при работе с первым и вторым шкивами. Показать, что отношение моментов приближенно равно отношению диаметров шкивов и равно отношению ускорений, с которыми движется груз в первом и втором случаях. Определить потери механической энергии при движении груза от верхней точки до момента удара об пол.

Контрольные вопросы

1.Сформулируйте основной закон динамики вращательного движения в дифференциальной форме.

2.Что называется моментом инерции материальной точки и твердого тела относительно оси? В каких единицах он измеряется?

3.От чего зависит значение момента инерции данного тела?

4.Как читается теорема Гюйгенса – Штейнера?

5.Вывести формулу для натяжения нити Т.

6.Какой закон положен в основу вывода рабочей формулы? Вывести формулу.

7.Момент каких сил вызывает вращение маятника?

8.Выведите формулу для определения момента инерции:

а) тонкого стержня относительно его середины;

б) тонкого кольца;

в) тонкого диска.

Лабораторная работа №4

ЛАБОРАТОРНАЯ УСТАНОВКА «НАКЛОННАЯ ПЛОСКОСТЬ»

Цель работы: установка предназначена для изучения законов динамики поступательного и вращательного движения при движении тел по наклонной плоскости, определения коэффициента трения скольжения и иллюстрации теоремы об изменении кинетической энергии.

Приборы и принадлежности: секундомер, линейка, установка «Наклонная плоскость»:

габаритные размеры – не более 870´180´180 мм

масса – не более 12 кг

Состав изделия и комплект поставки:

1.Основание – 1шт.

2.Стойка – 1шт.

3.Наклонная плоскость с узлом крепления – 1 шт.

4.Коробка со сменными грузами m1=(189,3±0,1)г – 1 шт.

5.Груз на нити m2 – 1шт.

6.Дополнительные грузы – 2 шт.

Устройство и принцип работы

Установка (рис. 4) состоит из наклонной плоскости 1 представляющей собой профиль, по дну которого скользит коробка с грузом. На одном из концов наклонной плоскости закреплен невесомый блок 2 (шлифованая ось), на другом – массивный шкив 3. Коробка с грузом m1 перемещается между фиксаторами 4 и 5. Наклонная плоскость закреплена на штативе 6, позволяющем изменять высоту наклонной плоскости над уровнем стола, а также изменять угол наклона плоскости относительно горизонта. Установка комплектуется набором грузов m2 (7) для рассмотрения движения связанных тел. Для эксплуатации установки требуется секундомер.

Вывод расчетных формул

Поступательное движение грузов m1 и m2 можно описать с помощью второго закона Ньютона. Для груза m1 уравнения второго закона Ньютона в проекциях на оси х и у (рис. 4) выглядят так:

Fтр – T1 + m1gsina = – m1a1,(1)

N – m1g cosa = 0 (2)

Для груза m2 закон Ньютона в проекции на ось у дает

Т2 – m2 g = – m2a2.(3)

Полагая, что скольжение нити по оси 2 происходит без трения, а сама нить невесома, можно записать: Т1 = Т2 = Т, а1 = а2 = а. В этом случае решение системы уравнений (1), (2), (3) дает значение ускорения, с которым движутся грузы m1 и m2:

а =(m2g – m1gsina – mm1g cosa)/ (m1 +m2). (4)

При некотором критическом значении угла наклона плоскости aкр система двух грузов может двигаться равномерно, т. е. а = 0. Следовательно, из соотношения (4) можно определить величину коэффициента трения скольжения:

m= tg aкр – m2/m1 соs aкр .(5)

Если тело m1 не соединено нитью с телом m2 (m2 = 0), то

а = g(sina – mm1g cosa) (6)

и m = tg aкр.(7)

Следовательно, построив график зависимости а = f(tg a), можно экстраполяцией найти m = tg aкр.

С другой стороны, зная значения m и а, можно определить работу всех сил, действующих на тела системы, и проверить теорему об изменении кинетической энергии. Для упрощения задачи рассмотрим движение только тела m1. Для него запишем теорему

DWK = Aвсех сил ,(8)

где DWK = mv2/2. (9)

Работа всех сил, действующих на тело m1:

AT = m2 (g – а)l,

Amgl = - m1gl sina,

Aтр = -m m1gl cosa .(10)

Следовательно, можно произвести проверку соотношения (8). При этом опытным путем определяются

a = 2l/t2, (11)

v = 2l/t (12)

и m по формуле (5).

Подготовка изделия к работе

1. Закрепить стойку на основании.

2. Закрепить на стойке наклонную плоскость.

3. Поместить установку на горизонтальную поверхность.

Порядок выполнения работы

1.Установить с помощью винта 8 (рис. 4) угол наклона плоскости a1, при котором груз m1 начинает двигаться вниз с минимальным ускорением.

2.Переместить груз m1 в верхнее положение и закрепить его фиксатором 4.

3.Отпустить фиксатор и одновременно включить секундомер. В момент касания грузом фиксатора 5 выключить секундомер. Время движения груза записать в таблицу 1.(При использовании электронных часов запуск и остановка секундомера происходит автоматически при пересечении грузом соответствующих датчиков.)

4.Измерить расстояние, пройденное грузом (1).

5.Повторить измерения не менее 5 раз.

6.Повторить п.п. 2 – 5 для пяти различных значений угла наклона a.

Таблица 1

7. Соединить нитью грузы m1 и m2, при этом нить пропустить через отверстие в фиксаторе 4.

8. Установить груз m1 на наклонной плоскости, перекинуть нить через ось 2 так, чтобы груз свободно висел на нити.

9. Установить угол a наклонной плоскости, при котором система двигается равноускоренно.

10. Переместить груз m1 в нижнее положение на наклонной плоскости (рис. 4) и закрепить фиксатором.

11. Отпустить фиксатор и одновременно включить секундомер. В момент касания грузом верхнего фиксатора выключить секундомер. Измерить расстояние, пройденное грузом.

12. Величины 1, t и а записать в таблицу 2.

Таблица 2 l =..., a =..., m1 =..., m2 =....

13. Задания пунктов 10 – 12 повторить 5 раз.

Обработка результатов измерений

1.По формуле (11) рассчитать ускорение груза m1 вниз по наклонной плоскости для каждого значения угла a.

2.Построить график зависимости ускорения от угла наклона.

3.Определить по графику величину tgaкр экстраполяцией графика.

4.Рассчитать значение скорости движения грузов m1 и m2 в момент касания верхнего фиксатора грузом m1 по формуле (12) и по данным таблицы 2.

5.Рассчитать изменение кинетической энергии тела m1 при его движении по наклонной плоскости.

6.Определить работу всех сил, действующих на груз m1 при его движении по наклонной плоскости, по формуле (10).

7.Сравнить величины.

DW = m1v2/2 и Авсех сил = At + Amlg + AFтр

8. Определить абсолютную погрешность DWK и А всех сил

Контрольные вопросы

1.Запишите основной закон динамики поступательного движения в дифференциальной форме.

2.Запишите систему уравнений, описывающих динамику движения груза по наклонной плоскости.

3.Получите формулу (4).

4.В чем заключается явление трения?

5.Какие виды трения вы знаете, какие причины вызывают трение?

6.Получите формулу для расчета погрешности косвенного измерения DW и Авсех сил.

7.Как изменится система уравнений, если учитывать массу ролика?

Лабораторная работа №5

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОБЪЁМА И ПЛОТНОСТИ ТЕЛА, ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОГРЕШНОСТЕЙ

Цель работы: Ознакомление с методами измерения линейных размеров, объёмов тел, их масс и плотностей материалов. Определение погрешностей измерений.

Приборы и принадлежности: микрометр, штангенциркуль, детали для измерения, весы и разновесы.

Нониусом называется дополнение к обычному масштабу (линейному или круговому), позволяющее повысить точность измерения.

Техника непосредственного измерения длин и углов достигла к настоящему времени большого совершенства. Сконструирован ряд специальных приборов, так называемых компараторов, позволяющих измерять длину с точностью до одного микрона (1мкм=10–6 м). Большинство из них основано на применении микроскопа и некоторых других оптических приспособлений, но при этом они всегда снабжаются нониусами или микрометрами. В ряде случаев требуемая относительная точность измерения длины бывает такова, что можно удовлетвориться абсолютной точностью в сотые или даже в десятые доли миллиметра, а для углов – минутами или долями минут. Тогда для измерения можно пользоваться обычными масштабными линейками и угломерами, снабженными нониусами. Примерами таких приборов являются штангенциркуль, буссоль, кипрегель.

Линейным нониусом называется маленькая линейка с делениями, скользящая вдоль большой линейки (также с делениями), называемой масштабом (рис. 5, а). Деления на нониус наносятся так, что одно его деление составляет

делений масштаба, где m – число делений нониуса.

Именно это позволяет, пользуясь нониусом, производить отсчёты с точностью до  части наименьшего деления масштаба.

Пусть расстояние между соседними штрихами масштаба y а между соседними нониусами x, Можно записать, что ; отсюда получаем .

Величина

 (1)

носит название точности нониуса, она определяет максимальную его погрешность. При достаточно мелких делениях масштаба деление нониуса делают более крупным, например:

, что даёт mx1 = (2m – 1)y.

Точностью такого нониуса по-прежнему является величина . В любом положении нониуса относительно масштаба одно из делений первого совпадает с каким-либо делением второго. Отсчёт по нониусу основан именно на способности глаза фиксировать это совпадение делений нониуса и масштаба.

Рассмотрим теперь процесс измерения при помощи линейного нониуса. Пусть L – измеряемый отрезок (рис. 5, а). Совместим его с началом нулевого деления основного масштаба. Пусть при этом конец его окажется между К и (К+1) делением этого масштаба. Тогда можно записать

,

где DL – неизвестная пока доля k-го деления масштаба. Приложим теперь к концу отрезка L наш нониус так, чтобы нуль нониуса совпал с концом этого отрезка. Так как деления нониуса не равны делениям масштаба, то на нём обязательно найдется такое деление n, которое будет ближе всего подходить к соответствующему (k+n)-му делению масштаба. Как видно из рис. 5,б,  и вся длина его будет равна , или, согласно (1):

. (2)

То есть длина измеряемого отрезка L равна произведению числа целых делений масштаба k на цену его деления y плюс произведение точности нониуса  на номер деления нониуса n, совпадающего с некоторым делением масштаба.

Погрешность, которая может возникнуть при таком методе отсчёта, будет обусловливаться неточным совпадением n-го деления шкалы нониуса с (k+n)-м делением масштаба, и величина его не будет превышать Dx/2, ибо при большем несовпадении этих делений одно из соседних делений (справа или слева) имело бы несовпадение меньше чем на Dx/2, и мы произвели бы отсчёт по нему. Таким образом, можно сказать, что погрешность нониуса равна половине его точности.

Длина делений масштаба и число делений нониуса, а следовательно, и точность нониуса бывают самыми разными. Круговой нониус, в принципе, ничем не отличается от линейного. Он представляет собой небольшую дуговую линейку, скользящую вдоль круга (лимба), разделенного на градусы или на ещё более мелкие деления в количестве m, общая длина которых равна (m-1) делениям лимба, т.е.

,

где a и b – выраженные в градусах или минутах цены делений нониуса и наименьшего деления лимба. Точность кругового нониуса выражается формулой, аналогичной формуле (1):

.

Отсчитываемые от нуля лимба углы будут вычисляться по формуле

.

Во многих случаях для облегчения отсчёта нониусы снабжаются скрепленными с ними лупами, при отсутствии таковых рекомендуется пользоваться для отсчёта обыкновенными ручными лупами.

Упражнение №1

Измерение толщины металлического параллелепипеда микрометром

Принадлежности: микрометр, металлический параллелепипед.

Описание микрометра. Микрометр служит для измерения диаметров проволок, пластинок небольшой толщины и т. п. Он имеет вид тисков, в которых измеряемый объект зажимается с помощью винта. Ход винта обыкновенно бывает равен 1 или 0,5 мм. На стержне винта укреплен барабан с нанесенной на нем шкалой, имеющей 50 или 25 делений. При зажатом винте нуль барабана стоит против нуля линейной шкалы, измеряемый объект (предмет) помещают между винтом и противоположным ему упором; затем, вращая винт за головку, доводят его до соприкосновения с предметом. По линейной шкале отсчитывают миллиметры, а по шкале барабана – сотые доли миллиметра.

Главным источником ошибок является неравномерность нажатия винта на измеряемый предмет. Для устранения этого недостатка рукоятка микрометра снабжена специальной головкой – «трещоткой», позволяющей создавать небольшое мерительное давление на измеряемый объект. Действие подобных приспособлений основано на трении, возникающем между стержнем винта и рукояткой, поворачивающей винт.

Страницы: 1, 2, 3