Лекции по ТОЭ

|алгебраической формой их записи, а при умножении и делении удобна показательная |

|форма. |

|Итак, применение комплексных чисел позволяет перейти от геометрических операций над |

|векторами к алгебраическим над комплексами. Так при определении комплексной амплитуды|

|результирующего тока [pic] по рис. 5 получим: |

|[pic] |

|где [pic]; |

|[pic]. |

| |

|Действующее значение синусоидальных ЭДС, напряжений и токов |

|В соответствии с выражением (3) для действующего значения синусоидального тока |

|запишем: |

|[pic]. |

|Аналогичный результат можно получить для синусоидальных ЭДС и напряжений. Таким |

|образом, действующие значения синусоидальных тока, ЭДС и напряжения меньше своих |

|амплитудных значений в [pic] раз: |

|[pic]. |

|(10) |

| |

|Поскольку, как будет показано далее, энергетический расчет цепей переменного тока |

|обычно проводится с использованием действующих значений величин, по аналогии с |

|предыдущим введем понятие комплекса действующего значения |

|[pic]. |

| |

|Литература |

|1. Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В. Зевеке, П.А. Ионкин, |

|А.В. Нетушил, С.В. Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с. |

|2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические |

|цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных |

|специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с. |

|Контрольные вопросы и задачи |

|1. Какой практический смысл имеет изображение синусоидальных величин с помощью |

|векторов? |

|2. Какой практический смысл имеет представление синусоидальных величин с |

|использованием комплексных чисел? |

|3. В чем заключаются преимущества изображения синусоидальных величин с помощью |

|комплексов по сравнению с их векторным представлением? |

|4. Для заданных синусоидальных функций ЭДС и тока [pic] записать соответствующие |

|им комплексы амплитуд и действующих значений, а также комплексы мгновенных значений. |

|5. На рис. 5 [pic], а [pic]. Определить [pic]. |

|Ответ: [pic] |

| Теория / ТОЭ / Лекция N 4. Элементы цепи синусоидального тока. Векторные |

|диаграммы и комплексные соотношения для них. |

|1. Резистор |

|Идеальный резистивный элемент не обладает ни индуктивностью, ни емкостью. Если к нему|

|приложить синусоидальное напряжение [pic] (см. рис. 1), то ток i через него будет |

|равен |

|[pic]. |

|(1) |

| |

|Соотношение (1) показывает, что ток имеет ту же начальную фазу, что и напряжение. |

|Таким образом, если на входе двухлучевого осциллографа подать сигналы u и i, то |

|соответствующие им синусоиды на его экране будут проходить (см. рис. 2) через нуль |

|одновременно, т.е. на резисторе напряжение и ток совпадают по фазе. |

|Из (1) вытекает: |

|[pic]; |

|[pic]. |

| |

| |

|[pic] |

|Переходя от синусоидальных функций напряжения и тока к соответствующим им комплексам:|

| |

|[pic]; |

|[pic], |

|- разделим первый из них на второй: |

|[pic] |

|или |

|[pic]. |

|(2) |

| |

|Полученный результат показывает, что отношение двух комплексов есть вещественная |

|константа. Следовательно, соответствующие им векторы напряжения и тока (см. рис. 3) |

|совпадают по направлению. |

| |

|2. Конденсатор |

|Идеальный емкостный элемент не обладает ни активным сопротивлением (проводимостью), |

|ни индуктивностью. Если к нему приложить синусоидальное напряжение [pic] (см. рис. |

|4), то ток i через него будет равен |

|[pic]. |

|(3) |

| |

| |

|Полученный результат показывает, что напряжение на конденсаторе отстает по фазе от |

|тока на [pic]/2. Таким образом, если на входы двухлучевого осциллографа подать |

|сигналы u и i, то на его экране будет иметь место картинка, соответствующая рис. 5.|

| |

|Из (3) вытекает: |

|[pic]; |

| |

|[pic]. |

| |

| |

|[pic] |

|Введенный параметр [pic] называют реактивным емкостным сопротивлением конденсатора. |

|Как и резистивное сопротивление, [pic] имеет размерность Ом. Однако в отличие от R |

|данный параметр является функцией частоты, что иллюстрирует рис. 6. Из рис. 6 |

|вытекает, что при [pic] конденсатор представляет разрыв для тока, а при [pic] [pic].|

| |

|Переходя от синусоидальных функций напряжения и тока к соответствующим им комплексам:|

| |

|[pic]; |

|[pic], |

|- разделим первый из них на второй: |

|[pic] |

|или |

|[pic]. |

|(4) |

| |

| |

|В последнем соотношении [pic] - комплексное сопротивление конденсатора. Умножение на |

|[pic] соответствует повороту вектора на угол [pic] по часовой стрелке. Следовательно,|

|уравнению (4) соответствует векторная диаграмма, представленная на рис. 7. |

| |

|3. Катушка индуктивности |

|Идеальный индуктивный элемент не обладает ни активным сопротивлением, ни емкостью. |

|Пусть протекающий через него ток (см. рис. 8) определяется выражением [pic]. Тогда |

|для напряжения на зажимах катушки индуктивности можно записать |

|[pic]. |

|(5) |

| |

|Полученный результат показывает, что напряжение на катушке индуктивности опережает по|

|фазе ток на [pic]/2. Таким образом, если на входы двухлучевого осциллографа подать |

|сигналы u и i, то на его экране (идеальный индуктивный элемент) будет иметь место |

|картинка, соответствующая рис. 9. |

|Из (5) вытекает: |

|[pic] |

| |

| |

| |

| |

|[pic] |

| |

| |

|[pic]. |

|Введенный параметр [pic] называют реактивным индуктивным сопротивлением катушки; его |

|размерность – Ом. Как и у емкостного элемента этот параметр является функцией |

|частоты. Однако в данном случае эта зависимость имеет линейный характер, что |

|иллюстрирует рис. 10. Из рис. 10 вытекает, что при [pic] катушка индуктивности не |

|оказывает сопротивления протекающему через него току, и при [pic] [pic]. |

|Переходя от синусоидальных функций напряжения и тока к соответствующим комплексам: |

|[pic]; |

|[pic], |

|разделим первый из них на второй: |

|[pic] |

|или |

|[pic]. |

|(6) |

| |

|В полученном соотношении [pic] - комплексное |

|сопротивление катушки индуктивности. Умножение на [pic] соответствует повороту |

|вектора на угол [pic] против часовой стрелки. Следовательно, уравнению (6) |

|соответствует векторная диаграмма, представленная на рис. 11 |

| |

|. 4. Последовательное соединение резистивного и индуктивного элементов |

| |

|Пусть в ветви на рис. 12 [pic]. Тогда |

|[pic]где |

|[pic], причем пределы изменения [pic]. |

|Уравнению (7) можно поставить в соответствие соотношение |

|[pic], |

|[pic] |

| |

| |

|которому, в свою очередь, соответствует векторная диаграмма на рис. 13. Векторы на |

|рис. 13 образуют фигуру, называемую треугольником напряжений. Аналогично выражение |

|[pic] |

|графически может быть представлено треугольником сопротивлений (см. рис. 14), который|

|подобен треугольнику напряжений. |

| |

|5. Последовательное соединение резистивного и емкостного элементов |

| |

|Опуская промежуточные выкладки, с использованием соотношений (2) и (4) для ветви на|

|рис. 15 можно записать |

|. [pic], |

|(8) |

| |

|где |

|[pic][pic], причем пределы изменения [pic]. |

| |

| |

| |

|[pic] |

| |

| |

|На основании уравнения (7) могут быть построены треугольники напряжений (см. рис. 16)|

|и сопротивлений (см. рис. 17), которые являются подобными. |

| |

| |

|6. Параллельное соединение резистивного и емкостного элементов |

| |

|Для цепи на рис. 18 имеют место соотношения: |

| [pic]; |

|[pic], где [pic] [См] – активная проводимость; |

| [pic], где [pic] [См] – реактивная проводимость конденсатора. |

| |

| |

| |

|[pic] |

| |

| |

| |

|Векторная диаграмма токов для данной цепи, называемая треугольником токов, приведена |

|на рис. 19. Ей соответствует уравнение в комплексной форме |

|[pic], |

|где [pic]; |

| [pic] - комплексная проводимость; |

| [pic]. |

|Треугольник проводимостей, подобный треугольнику токов, приведен на рис. 20. |

|Для комплексного сопротивления цепи на рис. 18 можно записать |

|[pic]. |

|Необходимо отметить, что полученный результат аналогичен известному из курса физики |

|выражению для эквивалентного сопротивления двух параллельно соединенных резисторов. |

|7. Параллельное соединение резистивного и индуктивного элементов |

| |

|Для цепи на рис. 21 можно записать |

|[pic]; |

| [pic], где [pic] [См] – активная проводимость; |

|[pic], где [pic] [См] – реактивная проводимость катушки индуктивности. |

|Векторной диаграмме токов (рис. 22) для данной цепи соответствует уравнение в |

|комплексной форме |

|[pic], |

|где [pic]; |

| [pic] - комплексная проводимость; |

| [pic]. |

|Треугольник проводимостей, подобный треугольнику токов, приведен на рис. 23. |

| |

| |

| |

|[pic] |

| |

| |

|Выражение комплексного сопротивления цепи на рис. 21 имеет вид: |

|[pic]. |

|Литература |

|1. Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, |

|С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с. |

|2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. |

|для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей|

|вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с. |

|Контрольные вопросы и задачи |

|1. В чем сущность реактивных сопротивлений? |

|2. Какой из элементов: резистор, катушку индуктивности или конденсатор – можно |

|использовать в качестве шунта для наблюдения за формой тока? |

|3. Почему катушки индуктивности и конденсаторы не используются в цепях |

|постоянного тока? |

|4. В ветви на рис. 12 [pic]. Определить комплексное сопротивление ветви, если |

|частота тока [pic]. |

|Ответ: [pic]. |

|5. В ветви на рис. 15 [pic]. Определить комплексное сопротивление ветви, если |

|частота тока [pic]. |

|Ответ: [pic]. |

|6. В цепи на рис. 18 [pic]. Определить комплексные проводимость и сопротивление |

|цепи для [pic]. |

|Ответ: [pic]; [pic]. |

|7. Протекающий через катушку индуктивности [pic] ток изменяется по закону |

|[pic] А. Определить комплекс действующего значения напряжения на катушке. |

|Ответ: [pic]. |

| Теория / ТОЭ / Лекция N 5. Закон Ома для участка цепи с источником ЭДС. |

| |

| |

| |

|[pic] |

| |

| |

|Возьмем два участка цепи a-b и c-d (см. рис. 1) и составим для них уравнения в |

|комплексной форме с учетом указанных на рис. 1 положительных направлений напряжений и|

|токов. |

| [pic] [pic] |

|Объединяя оба случая, получим |

|[pic] |

|(1) |

| |

|или для постоянного тока |

|[pic]. |

|(2) |

| |

| |

|Формулы (1) и (2) являются аналитическим выражением закона Ома для участка цепи с |

|источником ЭДС, согласно которому ток на участке цепи с источником ЭДС равен |

|алгебраической сумме напряжения на зажимах участка цепи и ЭДС, деленной на |

|сопротивление участка. В случае переменного тока все указанные величины суть |

|комплексы. При этом ЭДС и напряжение берут со знаком “+”, если их направление |

|совпадает с выбранным направлением тока, и со знаком “-”, если их направление |

|противоположно направлению тока. |

| |

|Основы символического метода расчета цепей |

|синусоидального тока |

| |

|Расчет цепей переменного синусоидального тока может производиться не только путем |

|построения векторных диаграмм, но и аналитически – путем операций с комплексами, |

|символически изображающими синусоидальные ЭДС, напряжения и токи. Достоинством |

|векторных диаграмм является их наглядность, недостатком – малая точность графических |

|построений. Применение символического метода позволяет производить расчеты цепей с |

|большой степенью точности. |

|Символический метод расчета цепей синусоидального тока основан на законах Кирхгофа и |

|законе Ома в комплексной форме. |

|Уравнения, выражающие законы Кирхгофа в комплексной форме, имеют совершенно такой же |

|вид, как и соответствующие уравнения для цепей постоянного тока. Только токи, ЭДС, |

|напряжения и сопротивления входят в уравнение в виде комплексных величин. |

|1. Первый закон Кирхгофа в комплексной форме: |

|[pic]. |

|(3) |

| |

| |

|2. Второй закон Кирхгофа в комплексной форме: |

|[pic] |

|(4) |

| |

| |

|или применительно к схемам замещения с источниками ЭДС |

|[pic]. |

|(5) |

| |

| |

|3. Соответственно матричная запись законов Кирхгофа в комплексной форме имеет |

|вид: |

|. первый закон Кирхгофа: |

|.[pic] ; |

|(6) |

| |

| |

|. второй закон Кирхгофа |

|[pic]. |

|(7) |

| |

| |

|Пример. |

|Дано: |

|[pic] |

|[pic][pic][pic] |

| |

| |

|[pic][pic][pic] |

| |

| |

|Определить: |

|1) полное комплексное сопротивление цепи [pic]; |

| |

| |

| |

| |

|2) токи [pic] |

| |

| |

|Рис. 2 |

| |

| |

|Решение: |

| |

|1. [pic]. |

|2. [pic]. |

|3. [pic] |

| [pic]. |

|4. Принимая начальную фазу напряжения за нуль, запишем: |

|[pic]. |

|Тогда |

|[pic]. |

|5. Поскольку ток распределяется обратно пропорционально сопротивлению ветвей (это|

|вытекает из закона Ома), то |

|[pic] |

|6. [pic]. |

|7. Аналогичный результат можно получить, составив для данной схемы уравнения по |

|законам Кирхгофа в комплексной форме |

|[pic] |

| |

|[pic] |

| |

|или после подстановки численных значений параметров схемы |

| |

|Специальные методы расчета |

| |

|Режим работы любой цепи полностью характеризуется уравнениями, составленными на |

|основании законов Кирхгофа. При этом необходимо составить и решить систему с n |

|неизвестными, что может оказаться весьма трудоемкой задачей при большом числе n |

|ветвей схемы. Однако, число уравнений, подлежащих решению, может быть сокращено, если|

|воспользоваться специальными методами расчета, к которым относятся методы контурных |

|токов и узловых потенциалов. |

| |

|Метод контурных токов |

|Идея метода контурных токов: уравнения составляются только по второму закону |

|Кирхгофа, но не для действительных, а для воображаемых токов, циркулирующих по |

|замкнутым контурам, т.е. в случае выбора главных контуров равных токам ветвей связи. |

|Число уравнений равно числу независимых контуров, т.е. числу ветвей связи графа |

|[pic]. Первый закон Кирхгофа выполняется автоматически. Контуры можно выбирать |

|произвольно, лишь бы их число было равно [pic] и чтобы каждый новый контур содержал |

|хотя бы одну ветвь, не входящую в предыдущие. Такие контуры называются независимыми. |

|Их выбор облегчает использование топологических понятий дерева и ветвей связи. |

|Направления истинных и контурных токов выбираются произвольно. Выбор положительных |

|направлений перед началом расчета может не определять действительные направления |

|токов в цепи. Если в результате расчета какой-либо из токов, как и при использовании |

|уравнений по законам Кирхгофа, получится со знаком “-”, это означает, что его |

|истинное направление противоположно. |

|Пусть имеем схему по рис. 3. |

|Выразим токи ветвей через контурные токи: |

| [pic]; |

| [pic]; [pic]; |

| [pic]; [pic]. |

|Обойдя контур aeda, по второму закону Кирхгофа имеем |

|[pic]. |

|Поскольку [pic], |

|то |

|[pic]. |

|Таким образом, получили уравнение для первого контура относительно контурных токов. |

|Аналогично можно составить уравнения для второго, третьего и четвертого контуров: |

|[pic] |

|совместно с первым решить их относительно контурных токов и затем по уравнениям, |

|связывающим контурные токи и токи ветвей, найти последние. |

|Однако данная система уравнений может быть составлена формальным путем: |

|[pic] |

|При составлении уравнений необходимо помнить следующее: |

|[pic] - сумма сопротивлений, входящих в i-й контур; |

|[pic] - сумма сопротивлений, общих для i-го и k-го контуров, причем [pic]; |

|члены на главной диагонали всегда пишутся со знаком “+”; |

|знак “+” перед остальными членами ставится в случае, если через общее сопротивление |

|[pic] i-й и k- й контурные токи проходят в одном направлении, в противном случае |

|ставится знак “-”; |

|если i-й и k- й контуры не имеют общих сопротивлений, то [pic]; |

|в правой части уравнений записывается алгебраическая сумма ЭДС, входящих в контур: со|

|знаком “+”, если направление ЭДС совпадает с выбранным направлением контурного тока, |

|и “-”, если не совпадает. |

|В нашем случае, для первого уравнения системы, имеем: |

|[pic] |

|Следует обратить внимание на то, что, поскольку [pic], коэффициенты контурных |

|уравнений всегда симметричны относительно главной диагонали. |

|Если в цепи содержатся помимо источников ЭДС источники тока, то они учитываются в |

|левых частях уравнений как известные контурные токи: k- й контурный ток, проходящий |

|через ветвь с k- м источником тока равен этому току [pic]. |

| |

|Метод узловых потенциалов |

|Данный метод вытекает из первого закона Кирхгофа. В качестве неизвестных принимаются |

|потенциалы узлов, по найденным значениям которых с помощью закона Ома для участка |

|цепи с источником ЭДС затем находят токи в ветвях. Поскольку потенциал – величина |

|относительная, потенциал одного из узлов (любого) принимается равным нулю. Таким |

|образом, число неизвестных потенциалов, а следовательно, и число уравнений равно |

|[pic], т.е. числу ветвей дерева [pic]. |

|Пусть имеем схему по рис. 4, в которой примем [pic]. |

|Допустим, что [pic] и [pic] известны. Тогда значения токов на основании закона Ома |

|для участка цепи с источником ЭДС |

|[pic] |

|Запишем уравнение по первому закону Кирхгофа для узла а: |

|[pic] |

|и подставим значения входящих в него токов, определенных выше: |

|[pic]. |

|Сгруппировав соответствующие члены, получим: |

|[pic]. |

|Аналогично можно записать для узла b: |

|[pic]. |

|Как и по методу контурных токов, система уравнений по методу узловых потенциалов |

|может быть составлена формальным путем. При этом необходимо руководствоваться |

|следующими правилами: |

|1. В левой части i-го уравнения записывается со знаком “+”потенциал [pic] i-го |

|узла, для которого составляется данное i-е уравнение, умноженный на сумму |

|проводимостей [pic] ветвей, присоединенных к данному i-му узлу, и со знаком |

|“-”потенциал [pic] соседних узлов, каждый из которых умножен на сумму проводимостей |

|[pic] ветвей, присоединенных к i-му и k-му узлам. |

|Из сказанного следует, что все члены [pic], стоящие на главной диагонали в левой |

|части системы уравнений, записываются со знаком “+”, а все остальные – со знаком “-”,|

|причем [pic]. Последнее равенство по аналогии с методом контурных токов обеспечивает |

|симметрию коэффициентов уравнений относительно главной диагонали. |

|2. В правой части i-го уравнения записывается так называемый узловой ток [pic], |

|равный сумме произведений ЭДС ветвей, подходящих к i-му узлу, и проводимостей этих |

|ветвей. При этом член суммы записывается со знаком “+”, если соответствующая ЭДС |

|направлена к i-му узлу, в противном случае ставится знак “-”. Если в подходящих к |

|i-му узлу ветвях содержатся источники тока, то знаки токов источников токов, входящих|

|в узловой ток простыми слагаемыми, определяются аналогично. |

|В заключение отметим, что выбор того или иного из рассмотренных методов определяется |

|тем, что следует найти, а также тем, какой из них обеспечивает меньший порядок |

|системы уравнений. При расчете токов при одинаковом числе уравнений предпочтительнее |

|использовать метод контурных токов, так как он не требует дополнительных вычислений с|

|использованием закона Ома. Метод узловых потенциалов очень удобен при расчетах |

|многофазных цепей, но не удобен при расчете цепей со взаимной индуктивностью. |

| |

|Литература |

| |

|1. Основы теории цепей: Учеб.для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, |

|С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с. |

|2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. |

|для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей|

|вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с |

|. |

|Контрольные вопросы и задачи |

| |

|1. В ветви на рис. 1 [pic] [pic] [pic]. Определить ток [pic]. |

|Ответ: [pic]. |

|2. В чем заключается сущность символического метода расчета цепей |

|синусоидального тока? |

|3. В чем состоит сущность метода контурных токов? |

|4. В чем состоит сущность метода узловых потенциалов? |

|5. В цепи на рис. 5 [pic]; [pic]; [pic]; [pic] [pic] [pic] [pic]. Методом |

|контурных токов определить комплексы действующих значений токов ветвей. |

|Ответ: [pic]; [pic]; [pic]. |

|6. В цепи на рис. 6 [pic] [pic][pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] |

|[pic]. Рассчитать токи в ветвях, используя метод узловых потенциалов. |

|Ответ: [pic]; [pic]; [pic]; [pic]; [pic]; [pic]; [pic]. |

|[pic] |

Страницы: 1, 2, 3, 4