Термодинамические основы термоупругости

, (1.1.16)

 (1.1.17)

 где

 ,

обозначают новые функции и

 ,  ,  ,  .

При определении а величина  была заменена скоростью с2 распространения S-волн в теле. Величинa  представляет квадрат отношения скорости Р – волн к скорости S – воли. В зависимости от коэффициента Пуассона величину β можно записать в виде .

Задачи об установившихся состояниях. Если массовые силы и источники тепла не зависят от времени и если поверхностные нагрузки являются статическими нагрузками, то тогда основная система уравнений (1.1.16), (1.1.14) и (1.1.15) примет вид

 (1.1.19)

, (1.1.20)

 (1.1.21)

Подставив в уравнение (1.1.19) модуль Юнга Е и коэффициент Пуассона υ, получим следующее уравнение:

 (1.1.22)

Для упругого тела, свободного от массовых сил, полагая Fi = 0 и используя формулу

найдем, подставляя соотношение (1.1.22) в уравнение (1.1.21):

 (1.1.23)

Для того чтобы решить это уравнение, Гудьер вводит термоупругий потенциал φ, с помощью которого вектор перемещения u1, u2, и3 определяется в виде

 (1.1.24)

Подставляя выражение (1.1.24) в уравнение (1.1.23), получаем условие, накладываемое на φ:

Таким образом, если выбрать φ так, что

, (1.1.25)

где

то вектор перемещения, определяемый уравнением (1.1.24), является решением уравнений, описывающих установившийся процесс термоупругости.Уравнение (1.1.25) в точности соответствует уравнению Пуассона и хорошо известно, что частный интеграл этого уравнения имеет вид

 (1.1.26)

где интегрирование распространяется на все тело.

Напряженное и деформированное состояния, представляемые частным интегралом (1.1.26), требуют не только заданного распределения температуры, но также и определенных поверхностных нагрузок, которые могут быть вычислены посредством выражения (1.1.22) и условии равновесия на границе. Для полного решения задачи требуется лишь определить распределение дополнительных напряжениий, обусловленных равными и прямо противоположными нагрузками на границе, что представляет собой задачу теории упругости при заданных нагрузках на границе. Тот факт, что тело нагрето, не играет роли до тех пор, пока упругие постоянные остаются неизменными. Интегралы типа (1.1.26) были использованы Борхардтом при общем анализе теории термоупругости и при решении некоторых частных задач в случае несимметричных распределений температуры в теле со сферическими или цилиндрическими границами. Распределение напряжений, обусловленное специальным распределением температуры в бесконечном и полубесконечном телах, обсуждалось различными авторами. Имеется очень мало точных решений даже этих уравнений, описывающих установившееся состояние, а те, которые имеются, относятся к сферам и цилиндрам, однако в главе 14 книги Тимошенко и Гудиера «Theory of Elasticity» (New York, 1951) рассматривается несколько приближенных решений инженерных задач, касающихся термических напряжений в пластинах и стержнях

1.2 Построение задачи термоупругости

В общем случае постановка задачи термоупругости заключается в следующем. Необходимо при заданных механических и тепловых воздействиях определить 16 функций координат хR и времени t: шесть компонентов тензора напряжения  шесть компонентов тензора деформации ε - три компонента вектора перемещения  и температуру Т, удовлетворяющих: трем уравнениям движения (1.2.1); шести соотношениям между напряжениями и деформациями (1.2.2) или (1.2.3); шести соотношениям между деформациями и перемещениями (1.2.4); уравнению теплопроводности (1.2.5), при определенных начальных и граничных условиях.

 (1.2.1)

ρ – плотность,

– силы инерции.

 (1.2.2)

где λ и μ – коэффициенты Ляме при изотермической деформации.

 (1.2.3)

Е – изотермический модуль упругости;

- коэффициент Пуассона.

 (1.2.4)

где – вектор перемещения.

 (1.2.5)

S – плотность энергии;

 – коэффициент теплопроводности;

 – удельная мощность (количество тепла, произведенного за единицу времени в единицу объема) источников тепла.

Начальные условия обычно задаются в виде распределений компонентов вектора перемещения , их скоростей  и температуры Т во всей области V упругого тела:

, ,  при t = 0. (1.2.6)

Здесь и дальше обозначения gi(xR), hi(xR), f(xR) означают функции всех координат хR (R — 1, 2, 3) в рассматриваемой области.

Граничные условия на поверхности Ω упругого тела, ограничивающей его объем V, складываются из механических и тепловых условий.

Механические граничные условия задаются либо в перемещениях

 при t >0, (1.2.7)

либо в напряжениях

 при t >0, (1.2.8)

— компоненты вектора поверхностной силы;

пj — компоненты единичного вектора внешней нормали к поверхности Ω.

В качестве теплового граничного условия применяется одно из граничных условий теории теплопроводности. Механические и тепловые граничные условия могут быть также смешанными. На одной части поверхности механические граничные условия могут быть заданы в перемещениях (1.2.7), а на другой — в напряжениях (1.2.8). Тепловое граничное условие на одной части поверхности тела задается, например, температурой, а на другой — законом конвективного теплообмена с окружающей средой.

Система уравнений (1.2.1), (1.2.2) или (1.2.3), (1.2.4) и (1.2.5) при указанных начальных граничных условиях описывает связанную нелинейную задачу термоупругости.

При << I значения упругих и термических коэффициентов и удельных теплоемкостей предполагаются постоянными, вместо уравнения (1.2.5) применяется уравнение теплопроводности (1.2.9), и связанная задача термоупругости становится линейной.

 (1.2.9)

Доказано, что для области V, свободной от объемных сил и источников тепла, решение системы уравнений (1.2.1), (1.2.2), (1.2.3), (1.2.5) при начальных и граничных условиях, заданных через перемещения и температуру, является единственным. Это доказательство можно обобщить и на другие механические и тепловые воздействия и граничные условия.

Составим для этой задачи уравнения движения в перемещениях. Выражая в уравнениях (1.2.1) напряжения через деформации по формуле (1.2.2) и учитывая, что члены, содержащие εRR и T, сохраняются только при i — j, получаем

. (1.2.10)

В этом уравнении деформации заменяем перемещениями. Заменяя j немым индексом R и учитывая, что , находим

 (1.2.11)

Уравнения (1.2.11) совместно с уравнением (1.2.9) при определенных начальных и граничных условиях описывают изменение в пространстве и во времени поля деформации и температурного поля. Представим эти уравнения в векторной форме:

 grad div  grad  (1.2.12)

div (1.2.13)

где  коэффициент температуропроводности.

1.3 Виды задач: связанная и несвязанная

Термоупругая деформация тела, возникающая от нестационарных механических и тепловых воздействий, сопровождается обратным эффектом — изменением его температурного поля. Задача термоупругости, в которой учитывается указанный эффект, называется связанной динамической задачей термоупругости, или связанной задачей термоупругости.

Эффекты связанности. Законы термодинамики гласят, что изменение деформаций упругого тела сопровождается изменением его температуры, при котором возникает теплопоток, обусловливающий увеличение энтропии термодинамической системы и, следовательно, термоупругое рассеяние энергии.

В металлических телах эффект связанности поля деформации и температурного поля обычно мало влияет на термическое возмущение и распределение тепловых напряжений. Но это не значит, что подобное положение сохранится и для новых материалов, обладающих большим параметром связанности.

При учете эффекта связанности устанавливаются новые качественные особенности распространения упругих волн, которые под влиянием тепловых эффектов распространяются с затуханием и дисперсией. В частности, существенно различаются решение динамической задачи термоупругости о тепловом ударе на поверхности полупространства без учета связи полей деформации и температуры и решение с учетом этой связи; в случае «несвязанного» решения разрыв напряжения αх остается неизменным, тогда как при «связанном» он с течением времени быстро уменьшается.

В работе, связанная задача термоупругости рассматривается при малом термическом возмущении, т. е. при << 1

В этом случае связанная задача становится линейной и при формулировке ее в перемещениях сводится к решению системы уравнений (1.2.12) и (1.2.13). Представления общих решений этой системы обобщают представления общих решений уравнения (1.3.30), описывающего динамическую задачу термоупругости. Известные представления решения уравнений классической теории упругости Б. Г. Галеркина и П. Ф. Папковича обобщаются на случай связанной задачи термоупругости. Применение прямых методов для решения связанных задач термоупругости в общем случае встречает большие математические затруднения; перспективной является разработка приближенных методов решения связанных задач термоупругости на основе вариационных принципов, аналогичных таковым для статических и квазистатических задач термоупругости.

Представления общего решения. Связанная задача термоупругости при малом термическом возмущении описывается системой уравнений (1.2.12) и (1.2.13) при начальных и граничных условиях.

При объемной силе

= grad П + rot  (1.3.1)

известно следующее представление общего решения уравнений (1.2.12) и (1.2.13):

и =grad  + rot  (1.3.2)

□,

в котором скалярная Ф и векторная  функции удовлетворяют уравнениям

□□; ( 1.3.3)

□ (1.3.4) где

□= □= (n= 1,2); (1.3.5)

ε — параметр связанности, имеющий значение;

с1 и с2 — скорость распространения упругой волны соответственно расширения и искажения (см. выражения (1.3.6)). При ε = 0 и П = 0 уравнение (1.3.3) на основании уравнения (1.3.31) переходит в (1.3.7)

,  (1.3.6)

□ (1.3.7)

а при  = 0 уравнение (1.3.4) переходит в уравнение (1.3.8) динамической задачи термоупругости.

□ (1.3.8)

Найдено также обобщение известного представления решения уравнений классической теории упругости Б. Г. Галеркина [52] (на случай связанной задачи термоупругости):

 = grad  + □ - grad div  (1.3.9)

□

где функция  и  удовлетворяют уравнениям

□□□ div (1.3.10)

□□ (1.3.11)

Как и в динамической задаче термоупругости, представление (1.3.9) при отсутствии объемных сил можно преобразовать к представлению (1.3.2). Действительно, если в представление (1.3.9) и уравнение (1.3.10) внести выражения

  ,

div  (1.3.12)

в которых  — частное решение неоднородного уравнения (1.3.11), и  - решения уравнений

□, □ (1.3.13)

Ф'— новая скалярная функция, то форма их не изменится, но вместо Ф и  в представлении (1.3.9) возникают Ф' и , а в уравнении (1.3.10) Ф' и . На основании второго уравнения (1.3.13) и тождества

grad div=+ rot rot

при подстановке — rot  такое представления при = 0, П = 0, X = 0 (отсутствие объемных сил) переходит в представление (1.3.2).

Вводя в представление (1.3.9) и в уравнения (1.3.10) и (1.3.11) новые функции

div, □ (1.3.14)

где r — радиус-вектор, получаем обобщение известного представления П. Ф Папковича на случай связанной задачи термоупругости (1.3.14)

grad grad; (1.3.15)

□,

в котором функция Ф, , В0 удовлетворяют уравнениям

□□□ (1.3.16)

□, □ (1.3.17)

В случае распространения безвихревой волны (волны расширения) и отсутствия объемных сил и источников тепла представление (1.3.2) имеет вид

grad, □, (1.3.18)

где функция  удовлетворяет уравнению

﴾□□﴿ = 0 (1.3.19)

Решение для функции Ф ищют в виде

 = φ(x, y, z)e (1.3.20)

где р — комплексная постоянная. Подставляя это решение в (1.3.19), для φ получают уравнение

=0. (1.3.21)

которое может быть представлено в виде

, (1.3.22)(9.3.19)

Где

; (1.3.23)

Если предположить, что термоупругая связь отсутствует (ε = 0), то из уравнения (1.3.23) получают

; . (1.3.24)

Следовательно, уравнение (1.3.23) описывает распространение двух видов волн расширения, из которых один, связанный с, близок к чисто упругой волне, а другой, связанный с, сходен по своему характеру с чисто тепловой волной.

На основании уравнений (1.3.20) и (1.3.21) общее решение уравнения (1.3.19) можно представить в виде

 (1.3.25)

где  удовлетворяет уравнению

j=1,2. (1.3.26)

Таким образом, в рассматриваемом случае общее решение связанной термоупругой задачи на основании представления (1.3.18) и решения (1.3.25) принимает вид

grad  (1.3.27)

 (1.3.28)

Учитывая, что

 div

и принимая во внимание формулу (1.328), получаем на основании соотношения (1.2.2) следующие выражения для напряжений:

 (1.3.29)

 — символ Кронекера;

ρ — плотность среды, в которой распространяется волна (1.3.26)

Задача термоупругости, описываемая двумя уравнениями:

 grad div  grad (Т — Т0) —  0 , (1.3.30)

 (1.3.31)

называется несвязанной динамической задачей термоупругости, или просто динамической задачей термоупругости.

При существенном приращении температуры Т—Т0 коэффициенты  в соотношениях (1.2.2) являются функциями Т, а следовательно, и функциями координат хR и времени t. Помня об этом и выполняя преобразования, аналогичные проведенным в п. 1.3, находим для такой задачи следующие уравнения движения в перемещениях:

. (1.3.32)

Вместо этих трех скалярных уравнений можно записать одно векторное в виде

grad div + 2 grad μ·Пε grad λ div-

 (1.3.33)

где grad μ · Пε — скалярное произведение тензора деформации Пε на вектор grad μ.

Если учесть зависимость от температуры, то уравнение тепло проводности становится нелинейным.

2 Модель термоупругой среды

2.1 Понятие модели сплошной среды: простые и сложные

Дифференциальные уравнения и соотношения, выражающие законы сохранения массы, импульса, энергии и второй закон термодинамики нужны для общего случая независимо от того, какими конкретными физико-механическими свойствами обладает деформируемая среда, и в силу этого имеют универсальный характер, т.е. справедливы для любых сред. Однако при попытке математического описания движения какой-либо конкретной деформируемой среды (газообразной, жидкой или твердой) довольно легко установить, что имеющихся в распоряжении универсальных дифференциальных уравнений и соотношений не достаточно для составления замкнутой системы уравнений, которая могла бы послужить основой для последующего нахождения единственного решения и получения количественной информации о характере движения и изменения состояния деформируемой среды. При этом очевидна закономерность: количество входящих в составляемую систему уравнений неизвестных величин (характеристических функций) на 6 единиц больше имеющихся в распоряжении уравнений, где 6 — количество независимых компонент симметричных тензоров напряжений и деформаций. Например, приведенная ниже система уравнений адиабатического движения деформируемой среды включает 20 уравнений (одно уравнение неразрывности (2.1.1), три уравнения движения (2.1.2), одно уравнение энергии (2.1.3), три кинематических соотношения взаимосвязи компонент скорости и перемещения (2.1.4), шесть геометрических соотношений (2.1.5) и шесть кинематических соотношений (2.1.6) и 26 неизвестных характеристических функций (плотность, удельная внутренняя энергия, по три компоненты векторов перемещения и скорости, по шесть независимых компонент симметричных тензоров напряжений, деформаций и скоростей деформаций) [53]:

div υ=0, (2.1.1)

, (2.1.2)

, (2.1.3)

, (2.1.4)

, (2.1.5)

, (2.1.6)

Анализ приведенной системы уравнений показывает, что в ней отсутствуют соотношения, учитывающие реакцию деформируемой среды на процесс деформирования и показывающие, какие внутренние напряжения возникают в ней в ответ на деформации. Подобные соотношения в самом общем виде можно записать как

 (2.1.7)

Соотношения вида (2.1.7) называются физическими соотношениями, они определяют специфику той или иной деформируемой среды в отношении оказания сопротивления деформированию и тесно связаны с понятием модели сплошной среды.

Модель сплошной среды — это некоторое идеализированное представление реальной деформируемой среды, учитывающее основные ее свойства сопротивления деформированию и подчиняющееся определенному математическому описанию в виде физических соотношений (2.1.7). Выбор модели сплошной среды для реальной деформируемой среды и соответствующий выбор физических соотношений (2.1.7) позволяет составить замкнутую систему дифференциальных (2.1.1)—(2.1.6) и конечных функциональных (2.1.7) уравнений для математического описания движения и внутреннего состояния исследуемой среды.

Под простыми моделями сплошных сред понимаются идеализированные представления реальных деформируемых сред, учитывающие какое-либо одно из основных механических свойств. К числу простых относятся следующие четыре модели: модель идеальной среды (идеальная жидкость или идеальный газ, не способные оказывать сопротивление формоизменению); модель вязкой жидкости (учитывается лишь свойство вязкости); модель упругой среды (принимается во внимание лишь проявление свойства упругости); модель жесткопластической среды (проявляется только свойство пластичности). Рассмотрим перечисленные выше простые модели сплошных сред, придерживаясь следующей последовательности: определение модели, общие соображения относительно сопротивления деформированию данной среды, определяющие уравнения, физические соотношения, примеры использования данной модели при физико-математическом моделировании и ее термодинамические особенности. Упругая (идеально, или совершенно, упругая) среда — это изотропная сплошная среда, сдвиговое и объемное сопротивления которой линейно зависят от деформаций. В качестве определяющих уравнений для модели упругой среды выступают уравнения, устанавливаемые на основе опытных данных по деформированию твердых тел (металлов и их сплавов, пластмасс и т.п.) при малых деформациях. Этим же обстоятельством определяется область практического использования данной модели сплошной среды.

Так, из экспериментов по всестороннему сжатию твердых тел при малых объемных деформациях устанавливается прямо пропорциональная зависимость среднего напряжения от средней деформации, выражаемая уравнением Бриджмена (2.1.8) и определяющая физическое поведение упругой среды.

 (2.1.8)

В более общем случае, с учетом влияния температуры, физическое поведение упругой среды описывается уравнением Дюамеля — Неймана:

 (2.1.9)

К — модуль объемного сжатия;

 — коэффициент линейного теплового расширения материала;

Т и  — соответственно текущая и начальная температуры материала.

Уравнение Дюамеля — Неймана может быть представлено в более "прозрачном" для понимания виде: , показывающем, что вклад в объемную деформацию  при деформировании индивидуальных частиц упругой среды вносят всестороннее сжатие или растяжение и нагрев, при этом влияние фактора нагрева проявляется в зависимости от коэффициента объемного теплового расширения .

Вто же время из экспериментов по кручению тонкостенных металлических труб, в индивидуальных частицах среды реализуется напряженно-деформированное состояние чистого сдвига, устанавливается прямо пропорциональная зависимость касательных напряжений от сдвиговых деформаций, приводящая к выводу о существовании следующей взаимосвязи между девиаторами напряжений деформаций:

 (2.1.10)

где G – модуль упругости второго рода (модуль сдвига).

Уравнение (3.21) принимается в качестве определяющего механическое поведение упругой среды. Из уравнения (3.21) следует скалярное определяющее уравнение — прямо пропорциональная зависимость интенсивности напряжений от интенсивности деформаций:

Из определяющих уравнений (3.12)(или (3.20)) и (3.21) следуют физические соотношения для моделей упругой среды,принимающие форму обобщенного закона Гука. Компоненты девиатора напряжений (см. (3.21)) могут быть выражены через компоненты девиатора деформаций как . Отсюда в случае выражения среднего напряжения σ через среднюю деформацию ε из уравнения Бриджмена (3.12) следуют прямые физические соотношения в виде зависимостей компонент тензора напряжений от компонент тензора деформаций:

 (2.1.11)

Обратные физические соотношения (зависимости компонент тензора деформаций от компонент тензора напряжений) получаются аналогичным образам и имеют вид

 (2.1.12)

Обобщенный закон Гука описывает все частные проявления упругого поведения деформируемых сред, реализующиеся в простых случаях напряженно-деформированного состояния. Так, для деформированного состояния чистого сдвига (ε12 0,ε11 = ε22 = ε33 = ε13 = ε23 =0) согласно (2.1.12) реализуется напряженное состояние σ12 = 2Gε12,σ11 = σ22 = σ33 = σ13 = σ23 =0 с прямо пропорциональной зависимостью касательных напряжений от сдвиговых деформаций. Деформированному состоянию всестороннего равноосного растяжения или сжатия ε11 = ε22 = ε33 = ε  0, εij = 0 при i j) соответствует такое же напряженное состояние: σ11 = σ22 = σ33 = σ = 3Kε, σ12 = σ13 = σ23 =0.Напряженному состоянию одноосного растяжения (σ11 0, σ22 = σ33 = σ12 = σ13 = σ23 = 0, σ = σ11/3 отвечает трехосное деформированное состояние: εij = 0 при i j и

 (2.1.13)

где Е = 18KG/(6K + 2G) — модуль упругости первого рода (модуль Юнга), a v = (ЗК - 2G)/(6K + 2G) — коэффициент Пуассона.

Модуль Юнга Е и коэффициент Пуассона v в дополнение к модулю сдвига G и модулю объемного сжатия К являются еще одной парой упругих характеристик, через которые может быть представлен обобщенный закон Гука. Выражая модуль объемного сжатия и модуль сдвига через модуль Юнга и коэффициент Пуассона как

 ,  (2.1.14)

можно получить запись физических соотношений для моделей упругой среды в форме

;

.

Следует отметить, что имеющаяся взаимосвязь между парами упругих характеристик (2.1.14) позволяет ограничиться экспериментальным определением лишь двух из них с последующим расчетом двух других. Наиболее просто определяются из опытов значения модуля Юнга Е (одноосное растяжение образцов) и модуля сдвига G (кручение образцов с реализацией напряженно-деформированного состояния чистого сдвига).

Уравнения (2.1.8), (2.1.10) и (2.1.13) позволяют истолковать физический смысл упругих характеристик G, E, v, К. Как следует из (2.1.10), модуль сдвига G определяет касательные напряжения, возникающие в упругой среде при чистом сдвиге. В соответствии с (2.1.13) модуль Юнга Е определяет продольные деформации, возникающие при одноосном растяжении, а коэффициент Пуассона v — соотношение поперечной и продольной деформаций в этом же случае. Согласно уравнению Бриджмена (2.1.8), модуль объемного сжатия К определяет среднее напряжение в зависимости от объемной деформации в и, напротив, характеризует объемную деформацию, возникающую в частицах упругой среды, когда в них существует давление р = — σ:  = Зε = σ/К.

Страницы: 1, 2, 3