Термодинамическое равновесие гетерогенных плазменных систем с существенной ионизацией компонентов

Здесь  (E-Entier (целая часть) от y), т.е. большинство частиц в системе имеет кратность ионизации    и , а средний заряд y - центр распределения Гаусса удовлетворяет неравенствам   ≤ y ≤. При высокой степени ионизации частиц  ne/n=z>>1 приближение Эйнбиндера можно распространить на всю область параметров rp, np и значение yz. Причем связь между  ne – средней концентрацией электронов и средним зарядом конденсированной частицы в соответствии с (1.2.19)

                                    (1.2.20)

где   .

В случае сильной ионизации частиц , так что (1.2.20) фактически совпадает с формулой, полученной Сагденом и Тращем из решения кинетической задачи о термоэмиссии электронов с идентичных частиц с зарядом ze.

В газовой фазе могут присутствовать легкоионизующиеся атомы (обычно атомы щелочных металлов) в виде естественных добавок (плазма продуктов сгорания) или вводится дополнительно с целью повышения ионизации. Наличие ионизующихся атомов в газовой подсистеме приводит к необходимости учета сложного баланса объемных и поверхностных процессов, определяющий межфазный обмен энергией, массой, импульсом и электрическим зарядом в НТП с КДФ. При этом частицы КДФ, являясь источниками и стоками электронов, могут как повышать в плазме ne, так и способствовать ее понижению.

1.3. Учет ионизации атомов легкоионизируемой присадки.

Основные предположения модели плазмы с макрочастицами, содержащей атомы легко ионизующихся элементов (щелочных металлов), следующие: в состоянии термодинамического равновесия температуры газа и частиц одинаковы;  каждая из макрочастиц с точностью до флуктуаций сохраняет свой равновесный заряд ze; в газовой фазе сохраняются неизменными средние концентрации атомных зарядов – электронов и ионов.

В модели Лукьянова предполагается, что равновесная система неограниченна, а “частичная” подсистема (ансамбль частиц КДФ) состоит из однородно ионизованных (имеющих один и тот же заряд q=ze) идентичных сферических частиц радиуса rp с работой выхода W. Связь между концентрацией электронов ne в газовой фазе и зарядом отдельной дисперсной частицы определяется с помощью формулы Ричардсона – Дешмана [17,с.213] для плотности тока термоэлектронной эмиссии с поверхности КЧ. Этот ток уравновешивается потоком электронов прилипания, т.е. тех газовых электронов, которые за единицу времени “оседает” на частицы КДФ. В результате получаем уже известную формулу (1.2.20), в которой  заменено :

                          .                          (1.3.1)

Кроме частиц КДФ, в газовой фазе присутствуют легко ионизующиеся щелочные атомы, которые также вносят свой вклад в равновесную концентрацию электронов ne. Пренебрегая влиянием микрополей на ионизацию атомарных частиц запишем для них  формулу Саха (см. (1.1.16)): 

                   .                                    (1.3.2)

Учитывая более высокие степени ионизации атомов, получаем цепочку уравнений Саха. Однако для интервала температур Т=2000….3500 К вклад этих степеней пренебрежимо мал, и в систему ионизационных уравнений входит только первое – (1.3.2). Используя условия электронейтральности плазмы и закон сохранения массы для щелочной компоненты, получаем замкнутую систему термоионизационного равновесия:

                                    (1.3.3)                                                                                                                             

Система (1.3.3) записана в принятых обозначениях и представляет собой систему ионизационных уравнений Лукьянова [18].

На рис.3 показаны расчетные зависимости концентрации электронов (рис.3.а) и заряда частиц окиси алюминия (рис.3.б) от исходного содержания щелочных атомов (атомов калия), полеченных в [18]. Линии I и 2 соответствуют размерам rp  частиц Al2O3. Штриховая линия 3 определяет ионизацию в чисто газовой плазме с теми же параметрами. Она проведена для наглядности несколько выше, поскольку для nA>1012cм-3 практически сливается с линиями 1,2. Видно, что при малых концентрациях щелочных атомов (nA<2108см-3) частицы КДФ способствуют повышению концентрации электронов в газовой фазе по сравнению с чисто газовой системой в тех же условиях (при таких же температуре и парциальном давлении щелочных атомов).

При более высоких концентрациях атомов щелочной присадки оказывается деонизирующее влияние дисперсных частиц: их заряд отрицателен и они служат стоками электронов (рис.3.б). Дальнейшее  повышение концентрации легко ионизующихся атомов приводит к росту ne и его асимптотическому приближению (“снизу”) к зависимости по Саха, т.е. формулой (1.1.18). Вне зависимости от размера заряд дисперсных частиц проходит через 0 при значении ne=ns.

Преобразуем систему (1.3.3) к удобному для аналитического рассмотрения виду. Из первого и четвертого уравнений .Используя второе и третье уравнения (подставляем выражение для ni в третье уравнение, из него ne выражаем z и определяющие параметры системы KS, np, nA; подставляем это соотношение в левую часть второго уравнения), окончательно получаем

        (1.3.4)

Трансцендентное уравнение   (1.3.4) относительно зарядового числа z дисперсной частицы в символическом виде запишем так:

                                       Ψ(z)=0                                                        (1.3.5)

Уравнение (1.3.5) однозначно решает вопрос об ионизации частиц и газа в модели, в которой не учитываются эффекты объемного заряда, существенно влияющие на электрон-ионные процессы в плазме. Как показывают эксперименты, отрицательные заряды частиц КДФ в плазме со щелочными присадками достаточно велики (z≥104), что ограничивает применимость этой модели. По характеру используемых физических допущений ее следует отнести к классу идеально-газовых моделей.

2. Дебаевский подход моделирования гетерогенных  кулоновских систем.

Модели дебаевского типа заимствуют представления из теории слабых электролитов Дебая – Хюнкеля [19]. Каждая частица КДФ, как и ион [19], поляризует свое окружение, что приводит к появлению избыточного усредненного заряда в окрестности выделенного (рассматриваемой частицы КДФ), т.е. к эффектам электростатического экранирования. Закон распределения избыточного заряда в окрестности КЧ определяется больцмановской  статистикой для концентраций заряженных частиц в самосогласованном  электростатическом поле в системе координат частицы. Распределение потенциала φ и объемного заряда ρ (избыточного заряда) подчинены уравнению Пуассона. Совместно с законом сохранения заряда для объема, занятого плазмой, а также больцмановскими распределениями зарядов в поле  частицы, оно составляет замкнутую систему уравнений для зарядового числа z выделенной КЧ.

2.1. Объемный заряд и потенциал в плазмозоле.

Рассмотрим бесконечную среду, содержащую идентичные сферические частицы КДФ, равномерно распределенные в нейтральном газе с высоким потенциалом ионизации (Iq>>kT), T – температура газа и частиц. В результате электростатических взаимодействий локальные концентрации электронов и дисперсных частиц в окрестности выделенной КЧ отличаются от средних по объему, и избыточный заряд  вблизи КЧ (фактически усредненная по времени плотность электростатического заряда среды  в системе координат КЧ) будет

                                                (2.1.1)

где - радиус вектор точки, z – средний заряд КЧ, e – элементарный заряд.

В (2.1.1) предполагается, что все частицы КДФ имеют один и тот же –заряд z.

Распределение избыточного заряда (2.1.1) и самосогласованного потенциала  связаны уравнением Пуассона

.                                                   (2.1.2)

Электронейтральные молекулы буферного газа, поляризуясь в поле КЧ, также вносят свой вклад в экранирование. Поэтому в правую часть (2.1.2) должна входить (в общем случае) диэлектрическая проницаемость . Однако, для рассматриваемых давлений (р~1….10 МПа) 1 и не учитывается.

Поскольку система неограниченна и в ней нет выделенных направлений, оператор Лапласа Δ в (2.1.2) содержит только радиальную часть, а функции точки  - локальные концентрации электронов  и частиц   будут зависеть только от расстояния . Интегрируя уравнение (2.1.1) по всему объему плазмы, не содержащему выделенной КЧ, для изотропного случая (сферически симметричное распределение избыточного заряда) получаем

.                                                (2.1.3)

Уравнение (2.1.3) отражает факт электронейтральности плазмозоля. Локальные концентрации   и  связанны с усредненными по объему концентрациями ne  и np больцмановскими соотношениями:

                                            (2.1.4)

Отметим, что (2.1.4) справедливы только в случае слабой ионизации дисперсных частиц, т.е. при . В этом приближении они допускают линеаризацию.

Из уравнения (2.1.1), которое определяет избыточный заряд в окрестности рассматриваемой КЧ и условия, вытекающего из закона сохранения заряда для среды в целом,

znp-ne=0 ,                                                       (2.1.5)

находим связь между распределением усредненного электростатического потенциала  и избыточного заряда . Окончательно приходим к дифференциальному уравнению 2-го порядка для избыточного заряда   в окрестности заданной КЧ:

.                                                  (2.1.6)

Посредством D2 (квадрат дебаевского радиуса для плазмозоля идентичных частиц) обозначена константа

                 (2.1.7)

Граничные условия для дифференциального уравнения (2.1.6) можно записать из следующих физических соображений:

1) в    плазмозоле    идентичных   эмитирующих частиц  усредненная плотность   объемного заряда  у поверхности   КЧ должна определяться  балансом потоков  электронов   эмиссии и прилипания (потока  газовых электронов, поглощенных  поверхностью КЧ);

         2) на бесконечности  (при  r)плотность избыточного  заряда  должна  обращаться в нуль. Таким  образом, приходим к граничным   условиям Дирихле  (задаются значения самой функции – плотности избыточного заряда  (r) на    поверхности    КЧ    и вдали от нее):

                                        θ(r)=θ;       θ()=0.                                 (2.1.8)

Отбросив растущее  на бесконечности частное  решение (2.1.6), представим  выражение  для избыточного заряда  θ(r) в виде

                                          (2.1.9)

 Подставляя    его в уравнение электронейтральности   плазмоля (2.1.3) и производя интегрирование, получаем 

.                                           (2.1.10)

Таким образом, имеем трансцендентное уравнение для зарядового числа КЧ в плазмозоле. Поверхностная плотность избыточного заряда  параметрически зависит от электростатического заряда z и определяется как

                               (2.1.11)

где Q – отношение статистических весов частицы  p в зарядовых состояниях z+1 и z; Фz – работа выхода электрона с поверхности заряженной частицы радиуса rp.

Вследствие наличия собственных размеров частицы КДФ не могут приблизиться на расстояния r<2rp и поэтому объемный заряд на поверхности (при r=rp+0) КЧ равен плотности электронной компоненты.

Подставляя (2.1.11) в (2.1.10), получаем уравнение для среднего зарядового числа z КЧ в плазмозоле. Решив это уравнение относительно z и подставив найденное значение корня в условие электронейтральности среды (2.5), получим среднее значение концентрации электронов в газовой фазе:

ne=znp.                                                           (2.1.12)

Таким образом, уравнения (2.1.10) – (2.1.12) полностью решают вопрос об ионизационном равновесии в плазмозоле идентичных сферических частиц в рамках дебаевского рассмотрения.

2.2. Зависимость электронной концентрации от определяющих параметров плазмы.

Гетерогенная плазма, состоящая из двух подсистем: “частичной” – заряженных частиц КДФ и газовой – нейтрального буферного газа с эмитированными КДФ электронами, характеризуется параметрами, на     основе которых можно однозначно в рамках той или иной модели рассчитать ее равновесный состав. Кроме термодинамических параметров (T, P, V), характеризующих плазму в целом, каждая из подсистем определяется своими параметрами. Для ансамбля макрочастиц КДФ – это их размер или функция распределения по размерам в полидисперсной системе, работа выхода W вещества частиц. Свойства атомарных частиц в газовой фазе определяются потенциалами ионизации Ij парциальными давлениями компонент Pj, т.е. счетными концентрациями атомарных частиц каждого сорта nAj.

Основная цель описания термической ионизации в любой из моделей – построение зависимостей электрофизических параметров системы (плазмы с КДФ) от ее определяющих параметров. При математической формулировке задачи физическая модель обычно сводится к решению соответствующей системы уравнений сохранения и кинетики, записанной для термодинамического равновесия. После преобразований системы ионизационных уравнений приходят в конечном итоге к решению трансцендентного уравнения (см., например (1.2.14)), выражающего функциональную связь между определяющими – исходными параметрами задачи и искомыми (в данном случае электрофизическими). Так, уравнение

                          (2.2.1)

связывает усредненный заряд дисперсной частицы, а значит, и концентрацию электронов  ne=znp, со всеми остальными параметрами, характеризующими плазмозоль, а именно: температурой Т, размером частиц КДФ rp, их концентрацией np (входит в определение D), работой выхода с поверхности материала частиц W.

Таким образом, исследование зависимости концентрации электронов ne в равновесном плазмозоле идентичных частиц от определяющих параметров (Т, rp, np, W) можно проводить на основе анализа решения (2.2.1) в пространстве параметров задачи. Общие параметры Т, np  характеризуют систему в целом, а  rp, W определяют свойства отдельных макрочастиц. Если добавить сюда искомые параметры z и np, то каждая точка (Т, rp, np, W, z, ne) в пространстве параметров задачи будет определять некоторое состояние ионизации в плазмозоле. Причем реализующимся состояниям соответствуют точки, которые лежат на “поверхности”, задаваемой в пространстве параметров (2.2.1). Это уравнение множеству точек (Т, rp, np, W) ставит в соответствие множество решений задачи (z, ne).

Символически связь между  z и определяющими параметрами запишем так:

                                 F(z, T, W, np, rp)=0                                               (2.2.2)

3. Ячеечные модели плазмы, содержащей частицы.

Расчет равновесных состояний ионизации в системах с сильным кулоновским взаимодействием частиц конденсированной фазы (К-фазы) и газа, т.е. в случае, когда

                                      ,                                                            (3.1)

не может быть реализован в рамках дебаевского рассмотрения, так как в правой части уравнения Пуассона (2.1.2) не представляется возможным связать средние по объему концентрации заряженных частиц с их локальными концентрациями в системе координат выделенной КЧ. Это привело к появлению моделей, использующих решение нелинейного уравнения Пуассона в ограниченной области – ячейке [20]. В существующих моделях этого класса для плазмозолей концентрация электронов вблизи поверхности КЧ определена законом термоэмиссии, а область электронейтральности содержит одну – сферическая симметрия (модель Гибсона [20], ее модификация) или две – цилиндрическая симметрия – частицы КДФ одинакового размера, которые в последнем случае могут отличаться сортом.

Главная особенность этих моделей в сферически симметричном случае – предположение о  том, что весь объем плазмы можно заменить совокупностью сферических ячеек, каждая из которых содержит строго одну из идентичных сферических частиц. Для случая двух сортов частиц К-фазы объем плазмозоля заменяется совокупностью цилиндрических ячеек, содержащих две либо одинаковые, либо различающиеся сортом дисперсные частицы. Граничные условия для нелинейного уравнения Пуассона (2.1.2) выбираются на поверхности КЧ и на границе ячейки. Эти идеи распространяются на случай существенной нелинейности в правой части (2.1.2).

Статистический подход к моделированию электрофизических свойств НТП с КДФ, по характеру используемых представлений также может быть отнесен к классу ячеечных. Здесь ограниченная область экранирования выделенной КЧ является усредненным по ансамблю Гиббса электронейтральным объемом,  в котором КЧ находится в последовательные моменты времени. Рассмотрим специфические особенности ячеечного подхода согласно работе  Гибсона [20], в которой впервые изучена возможность распространения результатов, полученных для индивидуальных частиц К-фазы в ячейке на весь объем, занятый гетерогенной плазмой.

3.1. Ионизация системы газ – частицы в модели Гибсона.

В состоянии термодинамического равновесия распределение потенциала  и объемного заряда  тесно связаны между собой и подчинены уравнению Пуассона (2.1.2). Термоионизационное равновесие системы газ – частицы будет полностью определено, если одновременно найдены оба распределения: заряда ρ и потенциала φ. Таким образом, описать ионизацию в плазме газ – частицы – значит решить уравнение Пуассона при некоторых упрощающих предположениях, используемых в модели.

В [20] предполагается, что в плазмозоле идентичных частиц (в системе макрочастицы + излученные ими электроны + электрически и химически нейтральный буферный газ) в состоянии термодинамического равновесия наблюдается однородная ионизация дисперсных частиц (все частицы К-фазы имеют один и тот же заряд q=ze, z – зарядовое число, е – элементарный заряд). Плазма электрически нейтральна, а распределения объемного заряда электронов и потенциала в плазме связаны больцмановским коэффициентом, т.е. электроны в поле частиц распределены по Больцману:

,                                                  (3.1.1)

где r – расстояние от центра макрочастицы; neb – концентрация электронов на расстоянии b от выделенной КЧ;  - электростатический потенциал; k – постоянная Больцмана; T – температура; b – радиус сферически-симметричной ячейки, в которой, согласно основному допущению модели [20], частица КДФ оказывается полностью за экранированной электронным газом, т.е.

                                                                                  (3.1.2)

Радиус b определяется объемом, отведенным в плазмозоле на одну дисперсную частицу:

                                   .                                                       (3.1.3)

Связь электронной плотности в ячейке с распределением электростатического потенциала   задается уравнением (2.1.2), которое запишем:

.                                         (3.1.4)

Учитывая граничные условия (3.1.2), имеем задачу Коши. Ее решение  параметрически зависит от концентрации электронов на границе ячейки neb. Если при этом известна электронная концентрация на поверхности КЧ, т.е. для r=rp – радиусу частиц конденсата, приходим к замкнутой системе уравнений для определения концентрации электронов в плазме. Действительно, из уравнения Пуассона (3.1.4) находим параметрическую зависимость потенциала в ячейке от  neb. Подставляя эту зависимость в распределение Больцмана (3.1.1) и учитывая, что , можно в символическом виде записать

                 .                                          (3.1.5)

Таким образом, получили трансцендентное уравнение относительной переменной neb. Разрешив его относительно neb и подставив  neb в уравнение, выражающее факт электронейтральности ячейки, получим значение среднего заряда КЧ в плазме:

                                .                                                     (3.1.6)

Окончательно средняя по объему концентрация электронов в плазмозоле:

.                                                           (3.1.7)

Изложенная последовательность шагов расчета ионизации плазмозоля дает возможность строить конкретные  алгоритмы числовых расчетов, предполагающих их реализацию на ЭВМ. Расчеты, приведенные в [20] реализованы на основе подпрограмм, содержащих в своей основе три основных момента: вычисление зависимости    ; определение концентрации электронов на границе ячейки решением трансцендентного уравнения относительно  neb; вычисление заряда КДФ – z и средней концентрации электронов в объеме плазмозоля – ne. Концентрация электронов на внутренней границе ячейки в модели определяется законом термоэмиссии Ричардсона-Дешмана:

                                .                                            (3.1.8)

Здесь К – коэффициент коррекции, учитывающий свойства поверхности КЧ (содержит коэффициент отражения электронов поверхностью дисперсных частиц); В=4,83·1021К-3/2.

3.2. Режим слабого экранирования

Прежде чем составлять алгоритм решения задачи с термической ионизации монодисперсного плазмозоля в рамках ячеечной модели, преобразуем (3.1.1) – (3.1.8) к виду, удобному для программирования. Если нормировать значения потенциала на kT, а расстояния посредством b – радиуса ячейки, то математическую модель задачи можно записать как

                                                         (3.2.1)

где введены обозначения:

                              (3.2.2)

Db – дебаевский радиус электронов, локализующихся на границе ячейки. Так как вблизи этой границы вследствие непрерывности нормированного потенциала у и его производной dy/dx они оказываются близкими к нулю, экспоненту, входящую в правую часть  уравнения Пуассона (3.1.1), разложим в ряд по малому параметру (x-1):

               (3.2.3)

После дважды интегрированного уравнения, вернемся к безразмерному потенциалу у (умножим выражение на 3/с и разделив на x), приходим к зависимости

                  (3.2.4)

Уравнение (3.2.4) определяет связь безразмерного потенциала у в ячейке с концентрацией свободных электронов на ее внешней границе neb, которая входит в выражение для константы с.

Режим слабого экранирования, описываемый (3.2.4), наиболее часто реализуется на практике в гетерогенной плазме (плазме с КДФ) для микрочастиц в случае, когда rp/DS<5. В таком режиме плотность электронов в ячейке изменяется незначительно (практически однородна), а потенциал в окрестности КЧ кулоновский, т.е. . Таким образом, если среднее по объему значение плотности электронов  равно их концентрации на границе ячейки neb, имеем однородное распределение электронной компоненты и отсутствие экранирования. Малое отличие этих плотностей указывает на слабое экранирование КЧ. 

Выводы

1.                        С учетом областей термодинамических параметров реально действующих плазменных устройств существующая модель идеально – газового и дебаевского подхода, должны быть уточнены и расширены на случай плотных плазменных систем с существенным вкладом электростатического взаимодействия термодинамических параметров.

2.                          Наиболее естественным образом, такое расширение может быть осуществлено для статистической ячеечной модели квазинейтральных ячеек с использованием условного разбиения пространства в не макрочастицы на две области: линейного и не линейного экранирования. В таком подходе аналитическое сопряжение двух решений на границе этих областей дает возможность сформулировать и решить задачу не линейного экранирования макрочастицы в ГПС в замкнутом виде. Полученное решение характеризуется дебаевскими ассимптотиками, а расчетные данные хорошо согласуются с имеющимся экспериментальным материалом. 

Список литературы

1.                 Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика. – М.: Наука, 1978. –583 с.

2.                 Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Физическая кинетика. – М.: Наука, 1979. –528 с.

3.                 Saha M.N. Ionisation in the solar chramosphorell Philosophycal Magazin. –1920.-v.40 – P.472-488.

4.                 Тамм И.Е. Основы теории электричества. – М.: Наука, 1976. –616 с.

5.                  Голант В.Е., Жилинский А.П., Сахаров С.А. Основы физики плазмы. – М.: Автомиздат, 1977. –384 с.

6.                 Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. – М.: Наука, 1974. –752 с.

7.                 Самуйлов Е.В. Сечение прилипания электронов к сферическим частицам и теоретическая ионизация частиц // Теплофизика высоких температур. –1966. – Т.4. - №2. – с.143-147.

8.                 Фиалков Б.С., Щербаков Н.Д., Акст Н.К., Беседин В.И. Использование электрофизических явлений для контроля и управления теплотехническими и технологтческими процессами // Физика горения и взрыва. – 1983. - № 5. – с. 29.

9.                 Цветков Ю. В., Панфилов С. А. Низкотемпературная плазма в процессах восстановления.  – М.: Наука, 1980. – 350 с.

10.            Boxman R.L., goldsmith S. The interaction between plasma and microparticles in a multi-cathode-spot // Vacuum arc. // G. Appol. Phys. –1981. –V.52. N1. P151 157/

11.            Красников Ю. Г., Кучеренко В. И. Термодинамика не идеальной низкотемпературной многокомпонентной плазмы на основе химической модели // Теплофизика высоких темтератур. – 1978. – Т. 16. - № 1. – С. 45 – 53.

12.            Dimick R.C., Soo S.L. Scattering of electrons and ions by dust particles in a gas // Phys. Fluids. 1964. –V.7.№1. P – 1638 – 1640/

13.            Sodha M.N., Kaw P.K., Srivastava H.K. Conductivity of dust – loden gases // Brit. G.Appl.Phys. – 1965. – V.16. - №5.- P.721 – 723.

14.            Самуйлов Е. В. О константе равновесия ионизации частиц // Теплофизика высоких температур. – 1965. – Т. 3. - № 2. – С.216 – 222.

15.            Журавский А. М. Справочник по эллепт ическим функциям. – М. – Л.: Изд – во. АН СССР, 1941. – 235 с.

16.            Аршинов А. А., Мусин А. К. Равновесная ионизация частиц // Доклады Академи Наук СССР. – 1958. – Т. 120. - № 4. – С.747 – 750.

17.            Добрецов Л. Н., Гомоюнова М. В. Эмиссионная электроника. – М.: Наука, 1966. – 564 с.

18.            Лукьянов Г А. Ионизация в разряженной низкотемпературной плазмы при наличии твердой фазы и примеси щелочного металла // Теплофизика высоких температур. – 1976. – Т. 14 - № 3. – С. 462 – 468.

19.            Debye P., Huckel E. Zur Fheorie der Electrolyte. I.Gefrierpunktsniedrigung und vervandte Erscheinungen // Phys. Zschr. –1923 –B.24. –S.185 –206.

20.            Gibson E. Ionisation phenomena in a – gas – particle – plasmall Phys. Fluids. – 1966.-V.9. - №12. – P.2389 – 2399.

Страницы: 1, 2