Физика

Теор. о циркул. свидетельствует о том что электростатич. поле - потенциальное.

Если циркул. не =0 то поле не потенциально.

Физ. смысл. циркул. численно равен работе по перемещ. единичн. полож. зар. по замкн. траектории.

               Лекция.

Вычисление разности потенциала по напряж. поля.

             2

1)A=q0òEldl

                   1

  2)A=q0(j1 - j2)

                2

  j1 - j2=òEldl   Связь между

                        1            разностью потенциала и напряженностью поля.

Вычислим разность потенциала для бесконеч. , равномер. заряженной нити с линейной плотностью t .

Пример:

t =dq/dl  [ Кл/м]

t1, t2      e=1

(j1 - j2) - ?

El=Er        dl=dr

                     r2                r2

j1 - j2=òErdr=òEdr

                    r1                 r1

E=(t/2pe0r) напряженность поля в точке на расст. r от нити.                 2

j1 - j2=(t/2pe0)òdr/r

                         1

j1 - j2=(t/2pe0)´ln(r2/r1)

Пример 2:

Вычисл. разности потенциала для равномер. заряж. сферы (проводящий шар).

Сфера R , q=1

1) r<R  2) r>R

Для точек вне сферы (r>R) из теор. Гаусса напряженность Е вычисляется Е=1/2pe0=q/r2

Внутри (r<R)

Е=0

                    r2                r2

j1 - j2=òErdr=òEdr=

                   r1                r1

=(q/4pe0)òdr/r2=(1/4pe0)(q/r1) -

- (1/4pe0)(q/r2)

из последнего выражения следует что потенц. поля не определ. как и у точечного зар. котор. нах. внутри.

r>R j =(1/4pe0)(q/r)

Внутри напряженность поля =0

поэтому j1 - j2=0

j1=j2=jR=(1/4pe0)(q/R)

j =const

Нарис. графики.

Связь между напряженностью поля и потенциалом в диффер. форме.

Градиент потенциал.

Для получения связи между Е и j в одной точке воспользуемся выраж. для элементарн. работы при перемещении q0 на dl по произвол. траектории.

dA=q0Eldl

В силу  потенциального характера сил электростатического поля эта работа соверш. за счет убыли потенциальной энергии.

dA= - q0 dj = - П

Eldl = - dj   

3) El= - (dj /dl )

Проэкция вектора напряж. поля на произвольном направлении (l) равна взятой с обратным знаком производной по этому  направлению.

4) Ex= - (dj /dx)

    Ey= - (dj /dy)   Ez= - (dj /dz)

  _        _            _

  E= - ( i (¶/¶x)+j (¶/¶y)+

     _

  +k (¶/¶z))´j

_

E= -grad        Напряженность

                       поля в данной т. равна взятому с обр. знаком градиенту потенцеала в этой точке.

Градиент  сколяр. фукции явл. вектором.

Градиент показывает быстроту изменения потенцеала и направлен в стор. увелич потенцеала.

Напряж. поля всегда перпендикулярна к эквпотенцеальным линиям.

Пусть точечный заряд q0 перемещается в доль эквипотенцеала j =const , dl - на эквипотенцеали.

dA=q0Eldl   dA=0  т.к. Dj =0

El=Ecosa          q0Ecosa dl =0

q0¹0  E¹0  dl¹0  cosa=0  a=900

Проводники в электрич. поле.

Электроемкость проводников.

         Конденсаторы.

          Энергия поля.

§1  Условия равновесия заряда на проводнике. Электростатич. защита.

Внесем в электрич. поле напряженностью E0  тело.

При внесении проводника все электроны окажутся в электростатич поля.

В нутри проводника за короткое время призойдет разделение эл. зарядов (электростатич индукция) с накоплением их на концах.

_                           _     _

E0 - внешнее       E' ­¯E0

_

E' внутри проводника

_    _     _            _    _

Е=E0+E'=0        E'=E0

E - результ. поле в нутри проводника.

В результате рассмотренныых процессов.

Усл. равновес. заряда.

1)Напр. поля во всех точках внутри проводника Е=0 .

2)Поверхность    проводника

    явл.     эквипотенцеальной

   j =const.

                             _

3)  Напр.   поля  Е ^   эквипот.

j =const.

В силу Е=0 проводники люб. формы явл. защитой от электростатич. поля.

Поле у поверхн. заряж. проводника.

Рассм. произаольную форму проводника заряж. по поверх. с поверхностной плотностью s .

Воспольз. теор. Гаусса в интегральной форме.

   _   _

ѓDdS=Sqi

 s

На заряж. поверхности отсечем круг площадью S.

ѓe0EdS=e0EòdS

 s                               s

e0E´S=s´S

в т. А    E=s/e0

D=e0E     D=s

Напр. поля прямопропорц. поверх. плотности заряда проводника в окрестностях этой точке.

Разделение зар. по проводнику завис. от его поверх. (у острых углов заряд больше , напряж. сильнее).

Электроемкость проводника.

Единица электроемкости.

Рассм. проводник произв. формы. В близи этого проводника других проводников нет. такой проводник назв. уединенным проводником.

Будем заряжать уединенный  проводник. При увеличении заряда потенциал прямо пропорционально зависет от Q.

Связь между зарядом Q , потенциалом j , и формой проводника дает электроемкость С=Q/j .

Емкостью уединенного проводника  - назв. физ вел. числ.= величине зар. сообщаемого этому  проводнику при увеличении потенциала на 1В.

В Си 1Ф - фарад.

         1Ф=1Кл/1В

Электроемкость зависет от размеров , формы и диэлектрической проницаемости среды.

С=4pee0R

j =(1/4pee0)´(Q/R)

Уединенные проводники при приближении к ним других проводников свою емкость существенно меняет (уменьш. за счет взаимного влияния электростотич. полей).

                 Лекция.

            Конденсаторы.

      Типы конденсаторов.

Конденсатор - устройство позволяющие получать стабильное значение емкости независящее от окружения.

Создание закрытого поля не влияющего на металлич. предметы достигается за счет двух металлич. разноимен. заряж. электродов.

В зависемости от формы обкладок различают плоские , цилиндрические , сферические конденсаторы.

Расчет емкости конденс. разл. типов.

1)

Дано: s , ½+ s ½=½ - s ½  ,

 e , S , d

C - ?

C=q/j      уедин. проводника

Для конденс. 

1) С= q/Dj =q/U

Dj =U   - напряжние

С=sS/Ed=sS/[(s/ee0)´d]=

=ee0S/d   2)

    Цилиндрич. конденсатор.

R1 , R2 , l , e

½+q  ½=½ - q½

+t , -t

C - ?

Воспользуемся 1)

                  R2

С= tl/(òEdr)     E= t/2pee0r

                 R1

Напряженность поля  произвольной точки располож. между цилиндрами на расст. r от оси определяется только зарядами на внутреннем цилиндре (см. теор. Гаусса). Аналогично для тонкой нити.

                 R2

С= tl/(ò(t/2pee0r)dr=

                 R1

= [tl/(t /2pee0´ln R2/R1)]

3) C=[tl/(t /2pee0´ln R2/R1)]

емкость цилиндрич. конденс.

    Сферич. конденсатор.

Сферич. конденс. - две концентрические сферы определ. радиуса.

Дано: e , R1 , R2

½+q  ½=½ - q½

C - ?

Использ. 1)         R2

С=q/= q/Dj =q/(òEdr)=

          R2                            R1

=q/(ò(q/4pee0r2)dr)

          R1

C=q/((q/4pee0)´(1/R1 - 1/R2))

C=4pee0R1R2/(R2 - R1)

Для всех видов конденс. видно что емкость зависит от параметров электродов. Всегда с помещением диэлектрика между электродов емкость увелич.

  Соединение конденсаторов.

     Батареи конденсаторов.

Конденсаторы часто приходится соединять вместе. Часто возник. необходимость соед. их в батареи (когда нужно иметь другую емкость).

1) Последовательное соед. - соед. при котор. отрицательные электроды соед. с полож.

У последовательно соед. Конденсаторов заряды всех обкладок равны по модулю , а разность потенциалов на зажимах батареи

               n

Dj =åj i

             i=1

Для любого из рассматриваемых конденс. Dj i=Q/Ci

С другой стороны ,

                                  n

Dj =Q/C=Qå(1/Ci)

                                 i=1

Откуда

          n

1/C=å1/Ci

             i=1

2) Параллельное соед. - соед. при котор. соедин. между собой обкладки одного знака.

                                                          n

                              С=åCi

                                                        i=1

У параллел. соед. конденсоторов разность потенциалов на обкладках конденсаторов одинакова и равна j а -j b. Если емкости конденсаторов С1 ,С2, ..., С3 то их заряды равны Q1=C1(j а -j b)

            Q2=C2(j а -j b)

а заряд батареи конденсаторов

          n

Q=åQi=(C1+C2+...+Cn)´

        i=1

´(j а -j b)

Полная емкость батареи

                            n

С=Q/(j а -j b)= åCi

                                             i=1

 Энергия заряженного проводника и конденсатора.

Рассм. уедин. проводник произв. формы. Проведем зарядку этого проводника , при этом подсчитаем работу внеш. сил.

Пусть при перенесении dq из ¥ , проводник приобрел потенциал j . Элементар. работа dA=j dq.

Допустим зарядили до Q .

С=q/j               j=q/C

Вся работа совершаемая при зарядке проводника до Q равна.

1) A=Q2/2C          2) A=Cj2/2

3) A=Qj/2

 В окружающем пространстве после зарядки проводника возникло электростатическое поле, значит работа при зарядке проводника расходуется на создание поля. Значит работа переходит полностью в энергию электростатич. поля.

Wэл=1) или 2) или 3)

Из 1) , 2) ,3) не следует ответа что энерг. Wn локализована в самом поле поскольку в формуле стоят параметры заряж. проводника.

              Конденсатор.

Рассм. зарядку конденсатора состоящего из двух обкладок

Первый путь  - dq перенос. из ¥ на одну из обкладок , тогда на второй обкладке возникнет -.

Второй путь - элементарн. заряд dq перенести из одной обкладки на вторую.

Независимо от способа формулы 1) , 2) , 3) справедливы (только j изменяется на Dj).

Энергия электростатического поля.

Объемная плотность энергии.

Носителем энергии явл. само поле.

Для подтверждения этой идеи возьмем формулу 1).

Wэл=Q2/2C применим ее к плоск. конденсатору. (параметры известны).

Wэл=s2S2d/2ee0S=(s2/2ee0)´Sd=

=(ee0s2/2(ee0)2)´V

1) Wэл=(ee0E2/2)´V  

 Из 1) следует что носителем энергии явл. поле с напряженностью Е.

Из 1) следует что все стоящее перед объемом - это объемная плотность энерг. электростатического поля.

2)     wэл=(ee0E2/2)

2')    wэл=DE/2

В физике доказывается что 2) и 2') можно применять и для неоднородного поля, для котор. полная энерг. может быть вычесленна по формуле

3) Wэл=òwэлdV

                    v

            Лекция.

Диэлектрики в эл. поле.     Поляризация диэлектриков.

§1  Проводники и диэлектрики. сущность явл. поляризации.

У проводников электроны могут свободно перемещаться по всей толще образца.

                             явл. эле-

                             ктростатич

                              индукции

Диэлектрики - вещества плохо или совсем непроводящие эл. ток.

В диэлектрике свободные заряды отсутствуют. У диэлектрика очень большое сопротивление.

Во внешнем поле у диэлектриков происходят очень существенные изменения. Заряды находящиеся в атоме во внешнем поле Е0  смещаются или пытаются сместиться. Диэлектрик во внеш. эл. поле поляризуется.

                           поляризуется

  При поляризации диэлектрика Е¹0.

У диэлектрика во внеш. эл. поле на поверхности образца появл. связнные некомпенсированные поляризованные заряды.

Явл. поляризации заключ. в появлении электрич. поля Е при внесении во внеш. поле Е0 появл.  связанных поверхностных зар. и появлении  в толще образца , в каждой единице объема дипольного момента.

    Диполь во внеш. эл поле.

Рассм. электрический диполь образованный зарядом q.

                               _

Электрич. момент p=ql , где l- плечо диполя. Вносим диполь во внеш. поле.

_

Е=const

½+q½=½-q½=q

Запишем силы действующие на заряд.

               _                     _

На   +q - F+     ,   на -q - F_   

   _        _         _

½F+½=½F_½=½F½=F

 На электрич. момент действ. пара сил , при этом возник вращающий момент М.

М=Fd=Flsina=Eqlsina=

=Epsina

d - плечо силы

 _

M=[P,E] -вращ. момент

(сколяр. произв.)

В однородн. эл поле электрический диполь поворачивается до тех пор пока эл. момент не станет  направлен по внеш.

          _     _

полю P­­E т.е. эл. диполь в полож. устойчивого равновеия.

В неоднородном эл. поле диполь наряду с поворотом испытывает поступательное движ. в область неоднородного поля.

        Типы диэлектриков.

Виды (механизм) поляризации диэлектриков.

В зависимости от структуры молекул различ. два типа диэлектриков поляр. и неполяр.

  неполяр.           полярные

O2 , H2 , CO ...    HCl ,...,CO2 

Симметрич.      Не симметри-

структура ма-    чная структу-

лекул.                ра.

                Без внеш. поля.

                   (Е0=0)

В О центры        Центры тяж. 

тяж. (+) и (-)      не совпадают

совпадают.

_                          _

Pi=0                     Pi¹0

åPi=0                 åPi=0

  i                                           i

                                           В силу хао-

                            тич. движ.

                            диполей.

У неполяр.

диэл. в отсу-

тств. внеш. по-

ля малекулы не

имеют собств.

эл.моментов.

(диполей нет)

               Во внеш. поле

                          _

                          Pi¹0

                          Ориентация

_                        диполи по

Pi¹0                   внеш. пол. Е0

åPi¹0                åPi¹0

  i                                        i

диполи

 Поляризация в завис. от вида

          механизма назв. 

Диформацион-    Ориентаци-

ная (электрон-    онная поля-

ная).                    ризация.

Независимо от вида поляризации у любого поляризованного диэлектрика появляется в эл. поле суммарный электрический дипольный момент.

       Поляризованность.

 Вектор поляризованности. 

Связь его с поверхностными зарядами.

Явл. поляризации описывается с помощью важной характеристики поляризованностью       или          вектора

                      _

поляризации Ю.

Поляризованностью диэлектрика назв. физ. вел.численно равную суммарному электрическому (дипольному) моменту молекул заключенных в единице объема.

     _

1) Ю=åPi/DV 

                i

в числителе суммарный момент всего образца , DV - объем всего образца.

В Си[Ю]=Кл/м2

     _         _

2) Ю=жe0Е

ж -диэлектрическая восприимчевость вещества.

ж>0   ж>1

Из 2) ж -const

Покажем что вектор поляризации равен (для точек взятых внутри диэлектрика).

Ю= s '

Пусть во внеш. поле Е0 нах. массивный образец.

DV=Sl

Независимо от способа поляриз. справа будет +s ' , справа -s '.

   _

åPi =ql=Ss 'l=

  i

Ю=s 'Sl/Sl =s '

Эл. поле внутри диэлектрика.

    Вектор эл. смещения.

Рассм. поляризацию однородного , изотропного диэлектрика (ж -const) внесенного во внеш. однородное поле поле Е0 образованное плоским конденс.

На образце появятся поверхностные связанные заряды.

+ s ' , - s '.                           _

Связ    заряды   созд. поле  Е'

                                  _ 

напр противополож. Е0.

_   _    _

Е=Е0+Е'               Е= Е0+Е'

Е=Е0 - s '/e0=E0 - жe0E/e0

E+жE=E0

(1+ж)= E0

1+ж=e

E=E0/e  - напряженность поля в диэлектрике внесенного во внеш. поле Е0.

Напряженность поля в диэлектр. Уменьшется в e раз при условии что s на обкладках конденс. остаются постоянными.

Если диэлектрик вносится в плоский конденс. подключенный к источнику напряжения , напряженность остается =Е0.

eЕ=Е0

ee0Е=e0Е0       D0=e0Е0

D=D0=s

В таком случае эл. смещение одинаково в вакууме и в диэл.

               Лекция.

s =const          E=Е0/e0

E созд. всеми видами зарядов как свободными так и связанными.

 D = D0

диэл    в возд 

                               U=const

                               s =const

                               Е0=E

                               D=eD0

Связь между связанными и свободными и свободными зарядами (s и s' ).

Связь между s и s' устанавл.на основании выраж. для напряж. поля.

Е= Е0 - Е'

Е0/e=Е0 - Е'     

s/e0=s/e0- s '/e0

s/e= s - s'

s'=(e - 1/e)´s

                      _   _    _

Связь между Е , D , Ю.

            _                 _

D= e0eE=(1+ж)´e0E=

      _         _

=e0E+жe0E0

_       _

D=e0E+Ю - связь

Теор. Гаусса при наличии диэлектриков.

Для воздуха и для вакуума две равные теор. Гаусса.

1) ѓDnds=åqi

        S                     i

2) òe0Ends=åqi

                               i

1)=2)

При наличии деэлектриков значимость 1) и 2) различна. В формуле 2) при наличии диэлектрика в прав. часть надо добавить алгебраич. сумму всех связанных зарядов 2)' òe0Ends=åqi+

                                                      i

+åqi'                                       

      i

Вел. связанных зарядов зависет от Еn.

Поток вектора эл. смещения сквозь произвол. замкн поверх. равен алгебраич. сумме всех свобод. зарядов заключ. внутри поверхности.

ѓDnds=åqi   - теор. Гаусса

S               i           при наличии диэлектрика.

Явление на границе двух диэлектриков .

Граничные условия.

Закон преломления линий поля.

 До сих пор мы рассм. диэл. вносимый в поле так что поверхность  его совпадала с эквипотонц. поверх. , а линии

_     _

Е и D были ^ поверхности.

                                  _     _

Каково направление Е и D

         _     _

если Е и D не ^ эквипотонц. поверх.

Для построения картины поля внитри диэлектрика нужно знать граничные условия.

Граничные условия для нормальных  составляющих

_     _

Е и D.

Рассм. границу раздела двух диэлектриков.

Псть у 1) - e1

2) - e2

e2 > e1

Пусть   на   границе   раздела

                                              _

двух диэлектрикриков D направлен под углом a.  

                           _         _

Расскладываем D1 и D2 на состовляющие нормальную к поверхности и танген-циальную.

_     _     _

D1=D1n+D1t

_     _     _

D2=D2n+D2 t

Для применен. Теор. Гаусса надо построить замен. поверх.

Нухно выбрать цилиндрич поверхн.

Найдем поток вектора эл. смещения через замкн. поверх.

ФD=D2nDS - D1nDS

Найдем алгебр. сумму зар. попавших внутрь.

D2nDS´D1nDS=0

DS¹0

1) D2n=D1n

Cогласно связи.

e2e0E2n= e1e0E1n

2)      E1n/E2n = e2/e1

2) - втор. гранич. усл. показ. каково повидение Е на грпнице: En на границе раздела двух диэл. изменяется скачком.

Граничные условия для тангенц. состовляющей.

Для получ. этих гранич. усл. воспольз. теор.о циркуляции вектора напряженности электрич поля.

ѓЕldl=0

L

Нужно  построить  четеж  для

_

Е аналогично рис 1.

        _      _    _     _

(1) - Е1® Е1=E1n+E1t

        _      _    _     _

(2) - Е2® Е2=E2n+E2t

Для применения теор. о циркул. нужно выбрать замкн. контур. В качестве замкнутого контура выбираем прямоугольник стороны котор. ½½ границе раздела , высота h®0.

АВ=CD=а

Направление обхода по часовой стрелке.

ѓЕldl=0         L=ABCD

L

В каждой точке на расст AB E1t ½½ этому участку.

Поэтому циркуляция E1t на AB равна

                             B                   D

ѓЕldl=E1tòdl - E2tòdl=0

L                         A                   C

E1ta - E2ta=0

a¹0

3) E1t=E2t

У вектора напряженности поля при переходе через границу раздела двух диэлектриков не меняется тангенциальная состовля-ющая.

D1t/e1e0=D2t/e2e0

Используя 3) и связь между

_     _

D и E получим:

4)      D1t/e1e0=D2t/e2e0 -  4-ое условие .

На границе раздела двух     диэлектриков           тангенц.

              _      

сoставл. D изменися.

1,2,3,4 - условия позволяют правельно построить картину линий поля.

Закон преломления линий поля.

tga2=D2 t /D2n   tda1=D1 t /D1n

tga2/tga1= D2t ´D1n/ D2n´D1t = =D2 t /D1 t = e2/e1

5) tga2/tga1=e2/e1 - зак. преломления линий поля.

Угол больше в той среде где e больше.

Из 5) следует гуще линии поля располож. В диэлектрике где e больше.

e2< e1

Построить картину линий поля.

    Активные диэлектрики.

(диэлектрики с особыми поляризационными свойства-ми.)

Мы рассматривали поляриза-цию однородных , изотроп-ных диэлектриков.

 _         _

Ю=жe0Е

ж=const

При Е=0 у большенства диэл. Ю =0. (поляризация исчезает)

Сущ. диэлектрики с нелинейной     зависемостью.

_       _

Ю от Е.

 _          _

Ю ¹жe0Е

2) Ю = f(E)

Это первый тип диэл. с особыми свойствами предста-вляет собой класс сигме-нтодиэлектриков.

У сигментодиэлектриков 2) представляет собой петлю гистерезиса.

Петля гистерезиса 1,2,3,4,5,6,1

Область 0,1 - область первич-

ной поляризации.

                             _              _

При уменьшении Е вектор Ю

убывоет по кривой 1,2,3.

        _

Страницы: 1, 2, 3