|
Численное решение уравнения Шредингера средствами JavaЧисленное решение уравнения Шредингера средствами JavaЧисленное решение уравнения Шредингера средствами Java Содержание Введение 1. Уравнение Шредингера и физический смысл его решений 1.1 Волновое уравнение Шредингера 1.2 Волновые функции в импульсном представлении 2. Методы численного решения нестационарного уравнения Шредингера 2.1 Метод конечных разностей для одномерного нестационарного уравнения Шредингера 2.2 Преобразование Фурье 2.3 Метод аппроксимации оператора эволюции (split-operator method) 3. Методы численного решения стационарного уравнения Шредингера 3.1 Метод Нумерова 4. Программная реализация численных методов средствами Java 4.1 Обзор языка программирования Java 4.2 Элементы программирования Java 2 используемые в работе Заключение Список использованных источников Введение Известно, что курс квантовой механики является одним из сложных для восприятия. Это связано не столько с новым и "необычным" математическим аппаратом, сколько прежде всего с трудностью осознания революционных, с позиции классической физики, идей, лежащих в основе квантовой механики и сложностью интерпретации результатов. В большинстве учебных пособий по квантовой механике изложение материала основано, как правило, на анализе решений стационарного уравнений Шредингера. Однако стационарный подход не позволяет непосредственно сопоставить результаты решения квантовомеханической задачи с аналогичными классическими результатами. К тому же многие процессы, изучаемые в курсе квантовой механики (как, например, прохождение частицы через потенциальный барьер, распад квазистационарного состояния и др.) носят в принципе нестационарный характер и, следовательно, могут быть поняты в полном объеме лишь на основе решений нестационарного уравнения Шредингера. Поскольку число аналитически решаемых задач невелико, использование компьютера в процессе изучения квантовой механики является особенно актуальным. 1. Уравнение Шредингера и физический смысл его решений 1.1 Волновое уравнение Шредингера Одним из основных уравнений квантовой механики является уравнение Шредингера, определяющее изменение состояний квантовых систем с течением времени. Оно записывается в виде (1.1) где Н — оператор Гамильтона системы, совпадающий с оператором энергии, если он не зависит от времени. Вид оператора определяется свойствами системы. Для нерелятивистского движения частицы массы в потенциальном поле U(r) оператор действителен и представляется суммой операторов кинетической и потенциальной энергии частицы (1.2) Если частица движется в электромагнитном поле, то оператор Гамильтона будет комплексным. Хотя уравнение (1.1) является уравнением первого порядка по времени, вследствие наличия мнимой единицы оно имеет и периодические решения. Поэтому уравнение Шредингера (1.1) часто называют волновым уравнением Шредингера, а его решение называют волновой функцией, зависящей от времени. Уравнение (1.1) при известном виде оператора Н позволяет определить значение волновой функции в любой последующий момент времени, если известно это значение в начальный момент времени. Таким образом, волновое уравнение Шредингера выражает принцип причинности в квантовой механике. Волновое уравнение Шредингера может быть получено на основании следующих формальных соображений. В классической механике известно, что если энергия задана как функция координат и импульсов H,(1.3) то переход к классическому уравнению Гамильтона—Якоби для функции действия S H можно получить из (1.3) формальным преобразованием , Таким же образом уравнение (1.1) получается из (1.3) при переходе от (1.3) к операторному уравнению путем формального преобразования , (1.4) если (1.3) не содержит произведений координат и импульсов, либо содержит такие их произведения, которые после перехода к операторам (1.4) коммутируют между собой. Приравнивая после этого преобразования результаты действия на функцию операторов правой и левой частей полученного операторного равенства, приходим к волновому уравнению (1.1). Не следует, однако, принимать эти формальные преобразования как вывод уравнения Шредингера. Уравнение Шредингера является обобщением опытных данных. Оно не выводится в квантовой механике, так же как не выводятся уравнения Максвелла в электродинамике, принцип наименьшего действия (или уравнения Ньютона) в классической механике. Легко убедиться, что уравнение (1.1) удовлетворяется при волновой функцией , описывающей свободное движение частицы с определенным значением импульса. В общем случае справедливость уравнения (1.1) доказывается согласием с опытом всех выводов, полученных с помощью этого уравнения. Покажем, что из уравнения (1.1) следует важное равенство ,(1.5) указывающее на сохранение нормировки волновой функции с течением времени. Умножим слева (1.1) на функцию *, a уравнение, комплексно сопряженное к (1.1), на функцию и вычтем из первого полученного уравнения второе; тогда находим ,(1.6) Интегрируя это соотношение по всем значениям переменных и учитывая самосопряженность оператора , получаем (1.5). Если в соотношение (1.6) подставить явное выражение оператора Гамильтона (1.2) для движения частицы в потенциальном поле, то приходим к дифференциальному уравнению (уравнение непрерывности) , (1.7) где является плотностью вероятности, а вектор (1.8) можно назвать вектором плотности тока вероятности. Комплексную волновую функцию всегда можно представить в виде где и — действительные функции времени и координат. Таким образом, плотность вероятности , а плотность тока вероятности .(1.9) Из (1.9) следует, что j = 0 для всех функций , у которых функция Ф не зависит от координат. В частности, j= 0 для всех действительных функций . Решения уравнения Шредингера (1.1) в общем случае изображаются комплексными функциями. Использование комплексных функций весьма удобно, хотя и не необходимо. Вместо одной комплексной функции состояние системы можно описать двумя вещественными функциями и , удовлетворяющими двум связанным уравнениям. Например, если оператор Н — вещественный, то, подставив в (1.1) функцию и отделив вещественную и мнимую части, получим систему двух уравнений , , при этом плотность вероятности и плотность тока вероятности примут вид , . [1] 1.2 Волновые функции в импульсном представлении. Фурье-образ волновой функции характеризует распределение импульсов в квантовом состоянии . Требуется вывести интегральное уравнение для с Фурье-образом потенциала в качестве ядра. Решение. Между функциями и имеются два взаимно обратных соотношения. (2.1) (2.2) Если соотношение (2.1) использовать в качестве определения и применить к нему операцию , то с учетом определения 3-мерной -функции, , в результате, как нетрудно убедиться, получится обратное соотношение (2.2). Аналогичные соображения использованы ниже при выводе соотношения (2.8). Положим далее ,(2.3) тогда для Фурье-образа потенциала будем иметь (2.4) Предполагая, что волновая функция удовлетворяет уравнению Шредингера (2.5) Подставляя сюда вместо и соответственно выражения (2.1) и (2.3), получаем В двойном интеграле перейдем от интегрирования по переменной к интегрированию по переменной , а затем эту новую переменную вновь обозначим посредством . Интеграл по обращается в нуль при любом значении лишь в том случае, когда само подынтегральное выражение равно нулю, но тогда .(2.6) Это и есть искомое интегральное уравнение с Фурье-образом потенциала в качестве ядра. Конечно, интегральное уравнение (2.6) можно получить только при условии, что Фурье-образ потенциала (2.4) существует; для этого, например, потенциал должен убывать на больших расстояниях по меньшей мере как , где . Необходимо отметить, что из условия нормировки (2.7) следует равенство .(2.8) Это можно показать, подставив в (2.7) выражение (2.1) для функции : . Если здесь сначала выполнить интегрирование по , то мы без труда получим соотношение (2.8).[2] 2. Методы численного решения нестационарного уравнения Шредингера 2.1 Метод конечных разностей для одномерного нестационарного уравнения Шредингера В большинстве учебных пособий по квантовой механике изложение материала основано, как правило, на анализе решений стационарного уравнений Шредингера. Однако стационарный подход не позволяет непосредственно сопоставить результаты решения квантовомеханической задачи с аналогичными классическими результатами. К тому же многие процессы, изучаемые в курсе квантовой механики (как, например, прохождение частицы через потенциальный барьер, распад квазистационарного состояния и др.) носят в принципе нестационарный характер и, следовательно, могут быть поняты в полном объеме лишь на основе решений нестационарного уравнения Шредингера. Поскольку число аналитически решаемых задач невелико, использование компьютера в процессе изучения квантовой механики является особенно актуальным. Нестационарное уравнение Шредингера, определяющее эволюцию волновой функции во времени, представляет собой дифференциальное уравнение первого порядка по времени и имеет следующий вид (3.1) где оператор полной энергии системы. Для одномерного случая Общее решение уравнения (1) формально можно записать в виде (3.2) где - волновая функция системы в момент времени - оператор эволюции (пропагатор). Особенностью выражения (3.2) является то, что в показателе экспоненты стоит оператор. Определить действие оператора эволюции на волновую функцию можно, например, разложив ее по собственным функциям оператора . Так, в случае дискретного спектра выражение для волновой функции в произвольный момент времени имеет вид (3.3) Аналогичное выражение может быть получено и для непрерывного спектра. Разложение (3.3) удобно использовать в тех случаях, когда решения стационарного уравнения Шредингера для конкретной задачи являются известными. Но к сожалению круг таких задач очень ограничен. Большинство современных численных методов решения уравнения (3.1) основаны на использовании различных аппроксимаций оператора эволюции . Так, например, разложение оператора эволюции в ряд Тейлора с сохранением первых двух членов дает следующую схему ,(3.4) здесь номер шага по времени. Существенным недостатком этого алгоритма является необходимость знать волновую функцию в моменты и . Кроме того, для оценки действия оператора на функцию нужно вычислять вторую производную по координате. Простейшая конечно-разностная аппроксимация второй производной (3.5) дает неудовлетворительный результат. (См. программный блок 1)[3] 2.2 Преобразование Фурье Начнем с комплексного ряда Фурье Рассмотрим случай L.Тогда сумму можно преобразовать в интеграл следующим образом: определим и =g(y).Так как возрастает каждый раз на единицу ,то где . Таким образом, полученные выше формулы приобретают вид (4.1) Величина называется преобразованием Фурье от и наоборот. Положение множителя довольно произвольно; часто величины и определяют более симметрично:
(4.2) Выражения (4.1) или (4.2) можно скомбинировать следующим образом: (4.3) Равенство (4.3) удовлетворяется для любой функции это позволяет сделать интересный вывод об интеграле как функции . Он равен нулю всюду, кроме точки , а интеграл от него по любому промежутку ,включающему , равен единице, т.е. эта функция имеет бесконечно высокий и бесконечно узкий пик в точке . Обычно определяют (Дирака) следующим образом:
(4.4) Из этих уравнений следует, что (4.5) для любой функции , в случае если интервал интегрирования включает точку . Проделанные выше операции над интегралами Фурье показали, что (4.6) Это интегральное представление функции. Дельта – функцию можно использовать, чтобы выразить важный интеграл через преобразование Фурье (4.1) от : (4.7) Это равенство называется теоремой Парсеваля. Она полезна для понимания физической интерпретации преобразования Фурье для , если известен физический смысл . Предположим, что четная функция. Тогда Заметим теперь, что -- также четная функция. Поэтому (4.9) Функция и ,определенные теперь только для положительных и , называются косинус - преобразованиями Фурье по отношению друг к другу. Рассматривая преобразования Фурье нечетной функции, получаем аналогичные соотношения Фурье между синус - преобразованиями Фурье: (4.10) Если нужно, можно симметризовать выражения, поставив множитель перед каждым интегралом (4.7)-(4.10). [4] 2.3 Метод аппроксимации оператора эволюции (split-operator method) Рассмотрим более подробно другой метод аппроксимации оператора эволюции, в котором отсутствуют недостатки, свойственные рассмотренной выше схеме. Здесь оператор эволюции аппроксимируется симметричным расщеплением оператора кинетической энергии (split-operator method) (5.1) Основная погрешность данной аппроксимации связана с некоммутативностью операторов кинетической и потенциальной энергии. Вычисление действия такого оператора на волновую функцию включает следующие шаги. Преобразованная в импульсное представление волновая функция умножается на и преобразуется обратно в координатное представление, где умножается на . Полученный результат снова преобразуется в импульсное представление, умножается на преобразуется обратно в координатное представление. На этом один шаг по времени завершается. Переход от одного представления к другому осуществляется посредством преобразования Фурье. В данной курсовой работе используется Гауссов волновой пакет вида , а также ступенчатый потенциал. Сначала преобразуем нашу волновую функцию из координатного представления в импульсное ,(5.2) затем умножим полученный результат на . На этом завершается половина временного шага. Полученный результат снова преобразуется в координатное представление (5.3) и умножается на . После чего вновь преобразуется в импульсное представление (5.4) и умножается на . Завершается шаг по времени еще одним преобразованием полученной волновой функции в координатное представление .(5.5) Один шаг по времени завершен. В данной работе этот метод реализован в среде Java, ниже приведены программный блок и полученные графики поведения волновой функции в различные моменты времени. Важная особенность этого метода заключается в том, что действие каждого из операторов оценивается в их соответствующем локальном представлении. С методической точки зрения ценность нестационарного подхода состоит в существенно большей наглядности и информативности результатов, по сравнению с результатами решения стационарного уравнения Шредингера. Круг задач, которые могут быть рассмотрены на основе решения нестационарного уравнения Шредингера очень разнообразен. Для иллюстрации вышесказанного рассмотрим задачу о движении частицы в поле потенциального барьера. Хотя стационарный подход позволяет определить коэффициенты прохождения и отражения частицы он, однако, не позволяет рассмотреть реальную пространственно-временную картину движения частицы через потенциальный барьер, которая является существенно нестационарной. Рассмотрение задачи на основе решения нестационарного уравнения Шредингера позволяет не только сопоставить классический и квантовый подход к проблеме, но и получить ответы на ряд вопросов, представляющих значительный практический интерес (например, длительность процесса туннелирования, скорости прошедших и отраженных частиц и т.д.). Ниже мы приводим результаты решения нестационарного уравнения Шредингера для данной задачи. Начальное состояние частицы задано в виде пакета гауссовой формы, движущегося в направлении области действия потенциала. На графиках представлена временная картина туннелирования такого пакета через потенциальный барьер прямоугольной формы в виде "мгновенных снимков" волнового пакета в разные моменты времени. Как видно, при попадании пакета в область действия потенциала его форма нарушается в результате формирования отраженного волнового пакета и его интерференции с падающим на препятствие пакетом. Через некоторое время формируются два пакета: отраженный и прошедший через препятствие. Движение падающего и отраженного пакета можно сопоставить с движение классической частицы, положение которой совпадает с максимумом в распределении вероятности. В случае протяженного потенциала отраженный пакет "отстает" от отраженной от барьера классической частицы. Физически это связано с тем, что пакет частично проникает в классически запрещенную область, в то время как в классике отражение происходит строго в точке скачка потенциала. Образование же прошедшего пакета представляет собой сугубо квантовый эффект не имеющий классических аналогий.[3] 3. Методы численного решения стационарного уравнения Шредингера 3.1 Метод Нумерова Рассмотрим решения одномерного стационарного уравнения Шредингера (3.1) частицы, движущейся в одномерном потенциале U(x). (3.1) Будем при этом полагать, что его форма имеет потенциала, представленного на рис.1: в точках xmin, xmax потенциал становится бесконечно большим. Это означает, что в точках xmin, xmax расположены вертикальные стенки, а между ними находится яма конечной глубины. Рисунок 1. Для удобства дальнейшего решения запишем уравнение Шредингера (3.1) в виде: (3.2) Где (3.3) С математической точки зрения задача состоит в отыскании собственных функций оператора, отвечающим граничным условиям (3.4) и соответствующих собственных значений энергии E. Так как при и при , , то можно ожидать, что собственному решению данной задачи соответствует собственная функция, осциллирующая в классически разрешенной области движения и экспоненциально затухающим в запрещенных областях, где ,, при , . Так как все состояния частицы в потенциальной яме оказываются связанными (т.е. локализованными в конечной области пространства), спектр энергий является дискретным. Частица, находящаяся в потенциальной яме конечных размеров при , при , имеет дискретный спектр при и непрерывный спектр при . Традиционно для решении задачи о нахождении собственных значений уравнения Шредингера используется метод пристрелки. Идея метода пристрелки состоит в следующем. Допустим, в качестве искомого значения ищется одно из связанных состояний, поэтому в качестве пробного начального значения энергии выбираем отрицательное собственное значение. Проинтегрируем уравнение Шредингера каким-либо известным численным методом на интервале . По ходу интегрирования от в сторону больших значений сначала вычисляется решение , экспоненциально нарастающее в пределах классически запрещенной области. После перехода через точку поворота , ограничивающую слева область движения разрешенную классической механикой, решение уравнения становится осциллирующим. Если продолжить интегрирование далее за правую точку поворота , то решение становится численно неустойчивым. Это обусловлено тем, что даже при точном выборе собственного значения, для которого выполняется условие , решение в области всегда может содержать некоторую примесь экспоненциально растущего решения, не имеющего физического содержания. Отмеченное обстоятельство является общим правилом: интегрирование по направлению вовнутрь области, запрещенной классической механикой, будет неточным. Следовательно, для каждого значения энергии более разумно вычислить еще одно решение , интегрируя уравнение (3.1) от в сторону уменьшения . Критерием совпадения данного значения энергии является совпадение значений функций и в некоторой промежуточной точке . Обычно в качестве данной точки выбирают левую точку поворота . Так как функции , являются решениями однородного уравнения (3.1), их всегда можно нормировать так, чтобы в точке выполнялось условие . Помимо совпадения значений функций в точке для обеспечения гладкости сшивки решений потребуем совпадения значений их производных (3.5) Используя в (17) простейшие левую и правую конечно-разностные аппроксимации производных функций , в точке , находим эквивалентное условие гладкости сшивки решений: (3.6) Число является масштабирующим множителем, который выбирается из условия Если точки поворота отсутствуют, т.е. E>0, то в качестве можно выбрать любую точку отрезка . Для потенциалов, имеющих более двух точек поворота и, соответственно, три или более однородных решений, общее решение получается сшивкой отдельных кусков. В описанном ниже документе, для интегрирования дифференциального уравнения второго порядка мы используем метод Нумерова. Для получения вычислительной схемы аппроксимируем вторую производную трехточечной разностной формулой: (3.7) Из уравнения (3.1) имеем (3.8) Подставив (3.7) в (3.8) и перегруппировав члены, получаем (3.9) Разрешив (3.9) относительно или , найдем рекуррентные формулы для интегрирования уравнения (3.1) вперед или назад по c локальной погрешностью . Отметим, что погрешность данного метода оказывается на порядок выше, чем погрешность метода Рунге-Кутта четвертого порядка. Кроме того данный алгоритм более эффективен, потому что значение функции вычисляются только в узлах сетки. Для нахождения численного решения оказывается удобным провести обезразмеривание уравнения (3.1), используя в качестве единиц измерения расстояния - ширину потенциальной ямы, в качестве единиц измерения энергии - модуль минимального значения потенциала . В выбранных единицах измерения уравнение (3.1) имеет вид (3.10) где (3.11) Таким образом, вычислительный алгоритм для нахождения собственных функций и собственных значений уравнения Шредингера реализуется следующей последовательностью действий: 1. Задать выражение, описывающее безразмерный потенциал . 2. Задать значение . 3. Задать пространственную сетку, на которой проводится интегрирование уравнения (3.1). 4. Задать , . 5. Задать начальное значение энергии . 6. Задать конечное значение энергии . 7. Задать шаг изменения энергии . 8. Проинтегрировать уравнение (3.1) для значения энергии слева направо на отрезке . 9. Проинтегрировать уравнение (3.1) для значения энергии справа налево на отрезке . 10. Вычислить значения переменной для значения энергии . 11. Увеличить текущее значение энергии на : . 12. Проинтегрировать уравнение (3.1) для значения энергии слева направо на отрезке . 13. Проинтегрировать уравнение (3.1) для значения энергии справа налево на отрезке . 14. Вычислить значения переменной для значения энергии . 15. Сравнить знаки , 16. Если и , увеличить текущее значение энергии на и повторить действия, описанные в пп. 8-17. 17. Если , уточнить методом линейной интерполяции. 18. Если , повторить действия, описанные в пп. 8-18. 19. Если , закончить вычисления.[5] 4. Программная реализация численных методов средствами Java 4.1 Обзор языка программирования Java Java связан с C++, который является прямым потомком С. Многое в характере Java унаследовано от этих двух языков. От С Java получил его синтаксис. На многие из объектно-ориентированных свойств Java повлиял C++. Некоторые из определяющих характеристик Java происходят от его предшественников. Кроме того, создание Java глубоко внедрилось в процессы усовершенствования и адаптации, которые проявились в языках машинного программирования в течение последних трех десятилетий. Каждое новшество в проекте языка управлялось потребностью решить фундаментальную проблему, с которой не справились предшествующие языки. Java не является исключением. Страницы: 1, 2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
Рефераты бесплатно, реферат бесплатно, рефераты на тему, сочинения, курсовые работы, реферат, доклады, рефераты, рефераты скачать, курсовые, дипломы, научные работы и многое другое. |
||
При использовании материалов - ссылка на сайт обязательна. |