Математическое моделирование как философская проблема

например, содержат параметры в виде случайных помех с некоторыми

вероятностными характеристиками.

Методы отыскания экстремума функции многих переменных с различными

ограничениями часто называются методами математического программирования.

Задачи математического программирования – одни из важных оптимизационных

задач.

В математическом программировании выделяются следующие основные

разделы[8]:

. Линейное программирование. Целевая функция линейна, а множество, на

котором ищется экстремум целевой функции, задается системой

линейных равенств и неравенств.

. Нелинейное программирование. Целевая функция нелинейная и

нелинейные ограничения.

. Выпуклое программирование. Целевая функция выпуклая и выпуклое

множество, на котором решается экстремальная задача.

. Квадратичное программирование. Целевая функция квадратичная, а

ограничения – линейные равенства и неравенства.

. Многоэкстремальные задачи. Задачи, в которых целевая функция имеет

несколько локальных экстремумов. Такие задачи представляются весьма

проблемными.

. Целочисленное программирование. В подобных задачах на переменные

накладываются условия целочисленности.

Как правило, к задачам математического программирования неприменимы

методы классического анализа для отыскания экстремума функции нескольких

переменных.

Модели теории оптимального управления – одни из важных в

оптимизационных моделях. Математическая теория оптимального управления

относится к одной из теорий, имеющих важные практические применения, в

основном, для оптимального управления процессами.

Различают три вида математических моделей теории оптимального

управления[9]. К первому виду относятся дискретные модели оптимального

управления. Традиционно такие модели называют моделями динамического

программирования. Широко известен метод динамического программирования

Беллмана. Ко второму типу относятся модели, описываемые задачам Коши для

систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Их часто называют моделями

оптимального управления системами с сосредоточенными параметрами. Третий

вид моделей описывается краевыми задачами, как для обыкновенных

дифференциальных уравнений, так и для уравнений в частных производных.

Такие модели называют моделями оптимального управления системами с

распределенными параметрами.

III. Кибернетические модели. Этот тип моделей используется для

анализа конфликтных ситуаций.

Предполагается, что динамический процесс определяется несколькими

субъектами, в распоряжении которых имеется несколько управляющих

параметров. С кибернетической системой ассоциируется целая группа субъектов

со своими собственными интересами.

IV. Вышеописанные типы моделей не охватывают большого числа различных

ситуаций, таких, которые могут быть полностью формализированы. Для изучения

таких процессов необходимо включение в математическую модель

функционирующего «биологического» звена – человека. В таких ситуациях

используется имитационное моделирование, а также методы экспертиз и

информационных процедур.

О кибернетическом моделировании и моделировании мыслительной деятельности

человека.

Особенности кибернетического моделирования.

Кибернетика (от греческого kybernetike – искусство управления) –

наука о самоуправляющихся машинах, в частности о машинах с электронным

управлением[10]. Основатель ее, американский ученый Норберт Винер, в 1948

показал, что человеческий мозг действует наподобие электронных

вычислительных машин с двоичной системой исчисления. Можно определить

кибернетику как науку, изучающую системы любой природы, способные

воспринимать, хранить и перерабатывать информацию для целей управления.[11]

Понятия кибернетическое моделирование, искусственный интеллект,

нейроматематика, о которых речь пойдет ниже, тесно связаны с математическим

моделированием и не мыслимы без него. Кибернетика широко пользуется методом

математического моделирования и стремится к получению конкретных

результатов, позволяющих анализировать и синтезировать изучаемые системы.

В современном научном знании весьма широко распространена тенденция

построения кибернетических моделей объектов самых различных классов. К.Б.

Батороев писал, что «кибернетический этап в исследовании сложных систем

ознаменован существенным преобразованием «языка науки», характеризуется

возможностью выражения основных особенностей этих систем в терминах теории

информации и управления. Это сделало доступным их математический

анализ».[12]

Кибернетическое моделирование используется и как общее эвристическое

средство, и как искусственный организм, и как система-заменитель, и в

функции демонстрационной. Использование кибернетической теории связи и

управления для построения моделей в соответствующих областях основывается

на максимальной общности ее законов и принципов: для объектов живой

природы, социальных систем и технических систем.

Широкое использование кибернетического моделирования позволяет

рассматривать этот «логико-методологический» феномен как неотъемлемый

элемент «интеллектуального климата» современной науки». В этой связи

говорят об особом «кибернетическом стиле мышления», о «кибернетизации»

научного знания. С кибернетическим моделированием связываются возможные

направления роста процессов теоризации различных

наук, повышение уровня теоретических исследований. Рассмотрим некоторые

примеры, характеризующие включение кибернетических идей в другие понятийные

системы.

Анализ биологических систем с помощью кибернетического моделирования

обычно связывают с необходимостью объяснения некоторых механизмов их

функционирования (ниже рассмотрим моделирование психической деятельности

человека). В этом случае система кибернетических понятий и принципов

оказывается источником гипотез относительно любых самоуправляемых систем,

т.к. идеи связей и управления верны для этой области применения идей, новые

классы факторов.

Характеризуя процесс кибернетического моделирования[13], обращают

внимание на следующие обстоятельства. Модель, будучи аналогом исследуемого

явления, никогда не может достигнуть степени сложности последнего. При

построении модели прибегают к известным упрощениям, цель которых -

стремление отобразить не весь объект, а с максимальной полнотой

охарактеризовать некоторый его «срез». Задача заключается в том, чтобы

путем введения ряда упрощающих допущений выделить важные для исследования

свойства. Создавая кибернетические модели, выделяют информационно-

управленческие свойства. Все иные сторон этого объекта остаются вне

рассмотрения.

Анализируя процесс приложения кибернетического моделирования в

различных областях знания, можно заметить расширение сферы применения

кибернетических моделей: использование в науках о мозге, в социологии, в

искусстве, в ряде технических наук. В частности, в современной

измерительной технике нашли приложение информационные модели[14]. Возникшая

на их основе информационная теория измерения и измерительных устройств -

это новый подраздел современной прикладной метрологии.

Моделирование мыслительной деятельности человека.

Использование ЭВМ в моделировании деятельности мозга позволяет

отражать процессы в их динамике, но у этого метода в данном приложении есть

свои сильные и слабые стороны. Наряду с общими чертами, присущими мозгу и

моделирующему его работу устройству, такими, как:

. материальность

. закономерный характер всех процессов

. общность некоторых форм движения материи

. отражение

. принадлежность к классу самоорганизующихся динамических систем,

в которых заложены:

а) принцип обратной связи

б) структурно-функциональная аналогия

в) способность накапливать информацию[15]

есть существенные отличия, такие как:

1. Моделирующему устройству присущи лишь низшие формы движения -

физическое, химическое, а мозгу, кроме того - социальное, биологическое;

2. Процесс отражения в мозге человека проявляется в субъективно-

сознательном восприятии внешних воздействий. Мышление возникает в

результате взаимодействия субъекта познания с объектом в условиях

социальной среды;

3. В языке человека и машины. Язык человека носит понятийный характер.

Свойства предметов и явлений обобщаются с помощью языка. Моделирующее

устройство имеет дело с электрическими импульсами, которые соотнесены

человеком с буквами, числами. Таким образом, машина «говорит» не на

понятийном языке, а на системе правил, которая по своему характеру является

формальной, не имеющей предметного содержания.

Использование математических методов при анализе процессов

отражательной деятельности мозга стало возможным благодаря некоторым

допущениям, сформулированным Мак-Каллоком и Питтсом. В их основе -

абстрагирование от свойств естественного нейрона, от характера обмена

веществ и так далее - нейрон рассматривается с чисто функциональной

стороны.

Согласно определению Мак-Каллока и Питтса формальный нейрон[16] -это

элемент, обладающий следующими свойствами:

. Он работает по принципу «все или ничего»;

. Он может находиться в одном из двух устойчивых состояний;

. Для возбуждения нейрона необходимо возбудить некоторое количество

сигналов, не зависящих от предыдущего состояния нейрона;

. Имеет место задержка прохождения сигналов в синапсах в течение

некоторого времени [pic];

. Имеются два вида входов: возбуждающие и тормозящие;

. Порог возбуждения предполагается неизменным;

. Возбуждение любого тормозящего синапса предотвращает возбуждение

нейрона, независимо от числа возбужденных сигналов.

Искусственный нейрон, смоделированный Мак-Каллоком и Питтсом,

имитирует в первом приближении свойства биологического нейрона. На вход

искусственного нейрона поступает некоторое множество сигналов, каждый из

которых является выходом другого нейрона. Каждый вход умножается на

соответствующий вес, аналогичный синаптической силе, и все произведения

суммируются, определяя уровень активации возбуждения нейрона. Схема

представления искусственного нейрона приведена на рисунке 2.

[pic]

Существующие модели, имитирующие деятельность мозга (Ферли, Кларка,

Неймана, Комбертсона, Уолтера, Джоржа, Шеннона, Аттли, Берля и других)

отвлечены от качественной специфики естественных нейронов. Однако с точки

зрения изучения функциональной стороны деятельности мозга это оказывается

несущественным.

Существует ряд подходов к изучению мозговой деятельности:

. теория автоматического регулирования (живые системы рассматриваются в

качестве своеобразного идеального объекта)

. информационный (пришел на смену энергетическому подходу)

Его основные принципы:

а) выделение информационных связей внутри системы

б) выделение сигнала из шума

в) вероятностный характер

Успехи, полученные при изучении деятельности мозга в информационном

аспекте на основе моделирования, по мнению Н.М. Амосова[17], создали

иллюзию, что проблема закономерностей функционирования мозга может быть

решена лишь с помощью этого метода. Однако, по его же мнению, любая модель

связана с упрощением, в частности:

. не все функции и специфические свойства учитываются

. отвлечение от социального, нейродинамического характера.

Таким образом, делается вывод о критическом отношении к данному

методу (нельзя переоценивать его возможности, но вместе с тем, необходимо

его широкое применение в данной области с учетом разумных ограничений).

Проблемы экспертных систем, искусственного интеллекта и нейросетей.

Экспертными системами принято называть те или иные программные

средства, выполняющие те или иные аналитические функции. В зависимости от

уровня и способа решения задач они делятся на следующие группы[18]:

1. Экспертные системы, основанные на правилах. Основная их

отличительная черта состоит в том, что решения, вырабатываемые

данными системами, производятся на основе жестких правил – ранее

установленных знаний в предметной области. Эти оценки и модели

встроены в систему и правильность решений, вырабатываемых системой,

находится в прямой зависимости от адекватности этих оценок или

моделей.

2. Экспертные системы, основанные на принципах. Данные экспертные

системы появились в результате стремления преодолеть недостатки

экспертных систем, основанных на жестких моделях. Основным

недостатком теоретических моделей является то, что во-первых

входные данные в них должны быть определены посредством

детерминирования количественных характеристик, с другой стороны в

таких моделях все выводы делаются на основе жестких правил типа

«если верно А, то верно Б». Адекватность таких моделей зависит от

адекватности данного правила для данной предметной области. Можно

сказать, что экспертные системы, основанные на правилах, базируются

на формальной логике с законом исключения третьего. Нечеткая логика

представляет собой область математики, применение которой позволяет

сводить описание сложных предметных областей к набору основных

принципов, способных управлять всей предметной областью в некоторых

заданных рамках. Нечеткое правило, которое должно пониматься как

принцип, а не закон.

3. Экспертные системы, основанные на примерах. Рассмотренные выше

экспертные системы можно в целом охарактеризовать как дедуктивные,

то есть частные выводы в них делаются на основе общих

закономерностей, выраженных в виде четких или нечетких правил.

Экспертные системы, основанные на примерах, характеризуются как

индуктивные, то есть общие заключения делаются только на основе

большого количества частных примерах. К таким системам можно

отнести нейросетевые пакеты, о которых речь пойдет ниже. Заметим,

что нейросеть предназначена главным образом для того, чтобы на

основе анализа большого объема информации, представленной в виде

набора частных случаев, выявить общие закономерности которые в свою

очередь впоследствии применяются к новым аналогичным ситуациям.

4. Экспертные системы, основанные на имитационном моделировании.

Данные экспертные системы позволяют при исследовании

функционирования сложных систем составить модель на основе

имеющихся данных и экспертных оценок и затем на основе свойств

данной модели протестировать процесс функционирования данной

системы, вводя в модель те или иные данные с целью получения

оптимальных выходных характеристик.

Особое место среди экспертных систем занимают системы искусственного

интеллекта. Проблема искусственного интеллекта занимает очень большое место

в практике сознания и использования вычислительной техники. С ней связано

много вопросов и чисто гносеологического характера. Академик Н.Н.

Моисеев[19] писал, что сам термин «искусственный интеллект» – не более чем

лингвистический нонсенс, и правильно было бы говорить об имитационных

системах, понятием которых прежде всего и связан рациональный смысл денного

термина. В узком смысле под искусственным интеллектом понимаются

технические средства и логика программирования, принципиально упрощающая

все процедуры общения с ЭВМ. Моисеев считает, что ни сегодня, ни в

обозримом будущем, нет и не будет никаких оснований говорить о возможности

появления искусственных систем, которые представляли бы новую, более

совершенную форму организации материи. Нет никаких оснований считать, что

машина сама по себе превратится в свехрчеловека и «отменит» человечество в

качестве пройденного, «устаревшего» уровня организации сознания и материи.

Знаменитый Терминатор останется продуктом фантастики. Моисеев уверен, что

вычислительная техника и средства искусственного интеллекта, как бы они не

развивались в дальнейшем, все равно по прежнему будут оставаться плодом

человеческого разума и рук и по прежнему будут служить целям человека.

Далее будем понимать термин «искусственный интеллект» только в узком

смысле, связывая его с технологией обработки и использования информации.

Нейросетевые технологии – одна из разновидностей систем

искусственного интеллекта. Понятия нейпронная сеть, нейроматематика,

нейроимитатор все шире входят в нашу жизнь, становятся привычныс и

эффективным инструментом для решения многих научно-технических задач.

Основой нейронной сети (НС) являются искусственные нейроны, описанные в

предыдущем пункте. Тем НС – совокупность нейронов, определенных образом

соединенных друг с другом и внешней средой. Используя НС, можно

реализовывать различные логические функции, связывающие между собой все

входные и выходные переменные, определенные в логическом базисе {0,1}. Эти

логические функции могут быть монотонными и немонотонными, линейно

разделимыми и неразделимыми, то есть иметь достаточно сложный вид.

В основу искусственных нейронных сетей положены следующие черты живых

нейронных сетей, позволяющие им хорошо справляться с нерегулярными

задачами[20]:

. простой обрабатывающий элемент – нейрон;

. большое количество нейронов, участвующих в обработке информации;

. связь каждого нейрона с большим количеством других нейронов;

. изменяющиеся по весу связи между нейронами;

. массивная параллельность обработки информации.

Нейросетевые технологии хорошо зарекомендовали себя в решении

всевозможных задач прогнозирования. Они способны решать задачи опираясь на

неполную, искаженную, зашумленную и внутренне противоречивую информацию. И

как сказал Роберт Хехт-Нильсен[21]: «Не имеет значения, похожи ли на самом

деле в работе нейронные сети на мозг. Значение имеет лишь то, что у данных

теоретических моделей можно математически обосновать наличие способностей к

переработке информации».

Использование математического моделирования в исследованиях экономических

систем.

Модели агрегированной экономики.

Экономико-математическое моделирование является неотъемлемой частью

любого исследования в области экономики. Бурное развитие математического

анализа, исследования операций, теории вероятностей и математической

статистики способствовало формированию различного рода моделей экономики.

. Почему можно говорить об эффективности применения методов математического

моделирования в этой области? Во-первых, экономические объекты различного

уровня (начиная с уровня простого предприятия и кончая макроуровнем -

экономикой страны или даже мировой экономикой) можно рассматривать с

позиций системного подхода. Во-вторых, такие характеристики поведения

экономических систем:

. изменчивость (динамичность);

. противоречивость поведения;

. тенденция к ухудшению характеристик;

. подверженность воздействию окружающей среды;

предопределяют выбор метода их исследования.

За последние 30-40 лет методы моделирования экономики разрабатывались

очень интенсивно. Они строились для теоретических целей экономического

анализа и для практических целей планирования, управления и прогноза.

Содержательно модели экономики объединяют такие основные процессы:

производство, планирование, управление, финансы и так д.алее. Однако в

соответствующих моделях всегда упор делается на какой-нибудь один процесс

(например, процесс планирования), тогда как все остальные представляются в

упрощенном виде.

В литературе, посвященной вопросам экономико-математического

моделирования, в зависимости от учета различных факторов (времени, способов

его представления в моделях; случайных факторов и тому подобное) выделяют,

например, такие классы моделей:

1.статистические и динамические;

2. дискретные и непрерывные;

3. детерминированные и стохастические.

Если же рассматривать характер метода, на основе которого строится

экономико-математическая модель, то можно выделить два основных типа

моделей:

. математические

. имитационные .

Развитие первого направления в мировой и российской науке связано с

такими именами, как Л.Н. Канторович, Дж. Фон Нейман, В.С. Немчинов, Н.А.

Новожилов, Л.Н. Леонтьев, В.В. Леонтьев и многие другие. Большой интерес в

этом направлении представляют модели агрегированной экономики, где

рассматривается отраслевой, народохозяйственный уровень. Динамические

народоозяйственные модели используются в роли верхних координирующих

звеньев систем экономико-математических моделей. С ростом временного

горизонта увеличивается разнообразие вариантов перспективного развития

экономики и возрастает число степеней свободы для выбора оптимальных

решений, поскольку уменьшается влияние ограниченности ресурсов, неизбежно

предопределяемой предшествующим развитием. Однако с ростом временного

горизонта фактор неопределенности также начинает играть все возрастающую

роль. По мнению Ю.Н. Черемных[22] «укрупненная номенклатура динамических

моделей регламентируется в первую очередь качеством информационного

обеспечения. Переход к такой номенклатуре для сокращения размерности может

быть продиктован недостаточно мощным алгоритмическим и машинным

обеспечением.» Для отыскания оптимальных траекторий динамических

нарoднохозяйственных моделей используются как конечные, так и бесконечные

методы, предложенные для решения задач математического программирования.

Большое теоретическое и прикладное значение динамических моделей

стимулировало многих авторов на разработку специальных методов поиска

оптимальных траекторий. Предложенные методы учитывают явно или не явно

блочную структуру ограничений динамических моделей и строятся

обычно без учета конкретных особенностей оптимальных траекторий.

Имитационное моделирование и исследование экономических систем.

Рассмотрим подробнее применение имитационного моделирования

экономических систем, процессов. По словам крупного ученого в этой области

Р.Шеннона, «идея имитационного моделирования проста и интуитивно

привлекательна, позволяет экспериментировать с системами, когда на реальном

объекте этого

сделать нельзя.»[23]. В основе этого метода - теория вычислительных систем,

математическая статистика, теория вероятностей. Все имитационные модели

построены по типу «черного ящика», то есть

сама система (ее элементы, структура) представлены в виде «черного ящика».

Есть какой-то вход в него, который описывается экзогенными или внешними

переменными, которые возникают вне системы, под воздействием внешних

причин, и выход описываемый эндогенными или выходными переменными, который

характеризует

результат действия системы.

В имитационном исследовании большое значение имеет этап оценки модели,

который включает в себя следующие шаги:

1. Верификация модели (модель ведет себя так, как это было задумано

исследователем).

2. Оценка адекватности (проверка соответствия модели реальной системе).

3. Проблемный анализ (формирование статистически значимых выводов на основе

данных, полученных в результате экспериментов с моделью).

Большой интерес в имитационном моделировании представляет метод

системной динамики - разработанный одним из крупнейших специалистов в

области теории управления, профессором в школе управления Альфреда П.

Слоуна в Массачусетском технологическом институте, Джеймсом Форрестером.

Его первая книга в этой области «Кибернетика предприятия» вызвала огромный

интерес мировой науки к методу системной динамики в имитационном

моделировании.

Начало глобальному моделированию положил другой труд Дж. Форрестера -

«Мировая динамика». Здесь он рассматривает мир как единое целое, как единую

систему различных взаимодействующих процессов: демографических,

промышленных, процессов исчерпания прирoдных ресурсов и загрязнения

окружающей среды, процесса производства прoдуктов питания. Расчеты

показали, что при сохранении развития общества, точнее сегодняшних

тенденций его развития, неизбежен серьезный кризис во взаимодействии

человека и окружающей среды. Этот кризис объясняется противоречием между

ограниченностью земных ресурсов, конечностью пригодных для

сельскохозяйственной обработки площадей и все растущими темпами потребления

увеличивающегося населения. Рост населения, промышленного и

сельскохозяйственного производства приводит к кризису: быстрому загрязнению

окружающей среды, истощению природных ресурсов, упадку производства и

повышению смертности. На основании анализа этих результатов делается вывод

о необходимости стабилизации промышленного роста и материального

потребления.

Исследования Дж.Форрестера, Р.Шеннона, Дж.Шрайбера и многих других

ученых в области имитационного моделирования позволяет сделать вывод о

перспективности использования этого метода в области экономики.

Заключение

Возможность постановки вычислительного эксперимента на ЭВМ

существенно ускорила процесс математизации науки и техники. Расширился круг

профессий, для которых математическая грамотность становится необходимой.

Благодаря возможности оперативного исследования процессов труднодоступных и

недоступных для реального экспериментирования математическое моделирование

все больше и больше находит свое применение в областях, казалось бы далеких

от математики и естественных наук. Оно широко используется и в

криминалистике, и в лингвистике, и в социологии, и этот список можно

продолжать и продолжать.

Академик Н.Н. Моисеев еще лет двадцать назад первым осознал

необходимость подготовки к эффективному использованию ЭВМ новых поколений.

Он обратил внимание на то, что крупные народнохозяйственные и социально-

экономические проблемы могут быть удовлетворительно решены только при

условии, что своевременно будут организованы и выполнены исследования

междисциплинарного характера, а ЭВМ новых поколений дают подходящую базу

для организации и проведения таких исследований.

Академик А.А. Самарский говорит о незаменимости математического

моделирования для решения важнейших проблем научно-технического и социально-

экономического прогресса, подчеркивает значение математического

моделирования как методологии разработки наукоемких технологий и изделий.

Но, к сожалению, как отмечает А.А. Петров[24] те, от кого зависит

распределение ресурсов, еще не осознали, что методы математического

моделирования имеют большое народнохозяйственное значение и от их развития

во многом зависит судьба социально-экономического и научно-технического

прогресса страны. Соответственно нет материальной поддержки исследований,

научные кадры не консолидируются на решении ключевых проблем, даже нет

понимания, что математическое моделирование превратилось в самостоятельную

отрасль науки с собственным подходом к решению проблем, хотя корни его

остаются в науках о природе и обществе. Остается надеяться, что эти

трудности временные, и математическое моделирование получит заслуженное

место и в решении важных социально-экономических и народно хозяйственных

проблем России будет играть ту же роль, что и в развитых странах.

Литература

Акчурин И.А., Веденов М.Ф., Сачков Ю.В. Методологические проблемы

математического моделирования в естествознании. // Вопросы философии, 1966,

№4.

Акчурин И.А., Веденов М.Ф., Сачков Ю.В. Познавательная роль математического

моделирования. М.: 1968.

Амосов Н.М. Моделирование мышления и психики - М.: Наука, 1965.

Андрющенко М.Н., Советов Б.Я., Яковлев А.С. и др. Философские основы

моделирования сложных систем управления // Системный подход в

технологических науках (Методологические основы): Сборник научных трудов –

Л.: Изд. АН СССР, 1989.

Батороев К.Б. Кибернетика и метод аналогий - М.: Высшая школа, 1974.

Бир С. Кибернетика и управление производством - М.: Наука, 1965

Бублик Н.Д., Секерин А.Б., Попенов С.В. Новейшие компьютерные технологии

прогнозирования финансовых показателей и рисков. – Уфа: 1998.

Васильев В.И., Ильясов Б.Г., Валеев С.В., Жернаков С.В. Интеллектуальные

системы управления с использованием нейронных сетей. – Уфа, 1997.

Вейль Г. Полвека математики – М.: 1969.

Иванов В.Т. Математическое моделирование. Модели

прогнозирования.(Методические указания для самостоятельной работы по курсу

ЦИПС) – Уфа, 1988.

Иванов В.Т. Математическое моделирование. Модели оптимизации (Методические

указания для самостоятельной работы по курсу ЦИПС) – Уфа, 1988.

Иванов В.Т. Математическое моделирование. Модели оптимального управления

(Методические указания для самостоятельной работы по курсу ЦИПС) – Уфа,

1988.

Кафаров В.В. Методы кибернетики в химии и химической технологии. - М.:

Химия, 1968.

Клаус Г. Кибернетика и философия - М.: Наука, 1963.

Краткая философская энциклопедия. М.: Издательская группа «Прогресс», 1994.

Кочергин А.Н. Моделирование мышления - М.: Наука, 1969.

Кудряшев А.Ф. О математизации научного знания.// Философские науки, 1975,

№4, с.133-139.

Лотов А.В. Введение в экономико-математическое моделирование

М.: Наука, 1984.

Моисеев Н.Н. Алгоритмы развития – М.: Наука, 1987.

Моисеев Н.Н. Экология человечества глазами математика. – М.: Молодая

гвардия, 1988.

Салихов М.В. К вопросу об эвристической активности математики //

Философские науки, 1975, №4Ю с.152-155.

Петров А.А. Экономика. Модели. Вычислительный эксперимент. – М.: Наука,

1996.

Самарский А.А. Гулин А.В. Численные методы - М.: Наука, 1989.

Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем. – М.: Высшая школа, 1998.

Форрестер Дж. Мировая динамика - М.: Наука, 1978.

Фролов И.Т. Гносеологические проблемы моделирования - М.: Наука, 1961.

Черемных Ю.Н. Анализ поведения траекторий динамики народнохозяйственных

моделей - М.: Наука, 1982.

Шеннон Р. Имитационное моделирование систем - искусство и наука - М.: Мир,

1978

-----------------------

[1] Г. Вейль Полвека математики – М.: 1969, с.8.

[2] А.Ф. Кудряшев О математизации научного знания // Философские науки,

1975, №4, с.137

[3] Андрющенко М.Н., Советов Б.Я., Яковлев А.С. и др. Философские основы

моделирования сложных систем управления // Системный подход в

технологических науках (Методологические основы): Сборник научных трудов –

Л.: Изд. АН СССР, 1989, с.67-82

Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем – М.: Высшая школа, 1998,

с. 4-6.

[4] Фролов И.Т. Гносеологические проблемы моделирования –М.: Наука, 1961,

с.20.

[5] Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. – М.: Наука, 1989, 432с.,

с.11

[6] Петров А.А. Экономика. Модели. Вычислительный эксперимент. - М.: Наука,

1996, 251 с., с.6.

[7] Иванов В.Т. Математическое моделирование. Модели

прогнозирования.(Методические указания для самостоятельной работы по курсу

ЦИПС) – Уфа, 1988, 47 с., с.12-14

[8]Иванов В.Т. Математическое моделирование. Модели оптимизации

(Методические указания для самостоятельной работы по курсу ЦИПС) – Уфа,

1988, 50 с., с.4

[9] Иванов В.Т. Математическое моделирование. Модели оптимального

управления (Методические указания для самостоятельной работы по курсу ЦИПС)

– Уфа, 1988, 47 с., с.2.

[10] Краткая философская энциклопедия. – М.: Издательская группа «Прогресс»

1994, с.209.

[11] Кафаров В.В. Методы кибернетики в химии и химической технологии. М.:

Химия, 1968, с.11.

[12] Батороев К.Б. Кибернетика и метод аналогий. М.: Высшая школа, 1974,

с.169.

[13] Баторев К.Б. Кибернетика и метод аналогий. М.: Высшая школа, 1974,

с.200

[14] Бир С. Кибернетика и управление производством М.: Наука, 1965, с.172.

[15] Веденов А.А. Моделирование элементов мышления - М.: Наука, 1988, с.

67.

[16] Васильев В.И., Ильясов Б.Г., Валеев С.В., Жернаков С.В.

Интеллектуальные системы управления с использованием нейронных сетей. –

Уфа, 1997, с.11.

[17] Амосов Н.М. Моделирование мышления и психики. –М.: Наука, 1965, с.46

[18] Бублик Н.Д., Секерин А.Б., Попенов С.В. Новейшие компьютерные

технологии прогнозирования финансовых показателей и рынков. – Уфа: 1998,

с.5.

[19] Моисеев Н.Н. Алгоритмы развития. – М.: Наука, 1987, с. 189-200.

[20] Бублик Н.Д., Секерин А.Б., Попенов С.В. Новейшие компьютерные

технологии прогнозирования финансовых показателей и рынков. – Уфа: 1998,

с.9-10.

[21] Васильев В.И., Ильясов Б.Г., Валеев С.В., Жернаков С.В.

Интеллектуальные системы управления с использованием нейронных сетей. –

Уфа, 1997, с.4.

[22] Черемных Ю.Н. Анализ поведения траектории динамики

народнохозяйственных моделей. – М.: Наука, 1982, с.25.

[23] Шеннон Р. Имитационное моделирование систем – искусство и наука. -

М.: Мир, 1978, с.7.

[24] Петров А.А. Экономика. Модели. Вычислительный эксперимент. - М.:

Наука, 1996, 251 с., с.6.

Страницы: 1, 2