Механика, молекулярная физика и термодинамика

Концентрацию молекул можно определить из уравнения    p=nkT:

n=p/kT   подставим в уравнение (1):

 6,5×10-8 м.

Средняя скорость <u>==470 м/с;

Тогда D=1×10-5 м2/с.

Для расчета h подставим (1) в (3):

1,2×10-5 .

Как видно из выражения (1), длина свободного пробега зависит только от концентрации молекул. При двукратном увеличении объема концентрация уменьшится вдвое. Следовательно, при любом процессе l2/l1=2.

В выражение для коэффициента диффузии входит не только длина свободного пробега, но и средняя скорость. Тогда:

При р=const объем прямо пропорционален температуре: Т2/Т1=V2/V1=2, тогда D2/D1=.

При Т=const  D2/D1=l2/l1=2.

Вязкость зависит от скорости молекул, следовательно, и от температуры, т.е.

,

при р=const ;

при Т=const .

Ответ:   l=6,5×10-8 м; D=1×10-5 м2/с; h=1,2×10-5 .

Задача 4 Пылинки массой 10-18 г. взвешены в воздухе. Определить толщину слоя воздуха, в пределах которого концентрация пылинок различается не более чем на 1%. Температура воздуха во всем объеме одинакова: Т=300 К.

Дифференцируя выражение (1) по z, получим

dn=-n0××e-mgz/kT×dz.

Так как n0×e-mgz/kT=n, то dn=-×n×dz. Отсюда dz=.

Знак «-» показывает, что положительным изменениям координаты (dz>0) соответствует уменьшение относительной концентрации (dn<0). Знак «-» опускаем и заменяем dz и dn конечными приращениями Dz и Dn:

.

Dn/n=0,01 по условию задачи. Подставляя значения, получим Dz=4,23 мм.

Ответ: Dz=4,23 мм

Задача 5 Вычислить удельные теплоемкости сv и сp смеси неона и водорода. Массовые доли газов w1=0,8 и w2=0,2. Значения удельных теплоемкостей газов – неон: сv=6,24 ; cp=1,04; водород: сv=10,4; сp=14,6.

,

откуда        .

Отношения  и  выражают массовые доли неона и водорода соответственно. С учетом этих обозначений  последняя формула примет вид:

,

 Подставляя значения, получим   сv=2,58×103 .

Таким же образом получим формулу для вычисления удельной теплоемкости смеси при постоянном давлении:

 Подставляя значения, получим       ср=3,73103.

Ответ: сv=2,58×103 ; ср=3,73103.

Задача 6 Кислород массой M=2 кг занимает объем v1=1 м3 и находится под давлением p1=2атм= 2,02×105 Па. Газ был нагрет сначала при постоянном давлении до объема V2=3 м3, а затем при постоянном объеме до давления

p2=5атм=5,05×105 Па. Найти изменение внутренней энергии газа DU, совершенную им работу А и теплоту, переданную газу. Построить график процесса.

                                                                        V=const  А2=0.

Полная работа, совершенная газом:  А=А1+А2=0,404×106 Дж.

На основании первого начала термодинамики

получаем теплоту, переданную газу: Q=3,68×106 Дж.

График процесса изображен на рисунке:    p

                                                                   p2                            3

                                                                   p1        1                  2

                                                                                                          v

                                                                             v1                v2

Ответ: DU=3,28×106 Дж; А=0,404×106 Дж; Q=3,68×106 Дж.

Задача 7  Идеальная тепловая машина работает по циклу Карно нагретым воздухом, взятом при начальном давлении 7×105 Па и температуре 127 0С. Начальный объем воз­духа 2×10-3 м3. После первого изотермического расширения воздух занял объем    5 л, после адиабатического расширения объем стал равен 8 л. Найти координаты пересечения изотерм и адиабат.

Для точки А  , откуда , =0,427 молей, тогда уравнение (1) примет вид:

pV = 0,427×8,31×400=1420 Дж.

Для точки В =284×103 Па.

Так как координаты точек В и С удовлетворяют адиабате ВС, то

, откуда =1,44×105 Па.

Уравнение изотермы DС =1,44×1,05×105×8×10-3=1170 Дж. Отсюда Т2=330 К.

Так как координаты точек Д и А должны удовлетворять уравнению адиабаты, то

,

отсюда V4=3,22×10-3 м3 и 105 = 3,6×105 Па.

Таким образом:   V1=2×10-3 м3, р1=7×105 Па,

                             V2=5×10-3 м3, р2=2,8×105 Па,

                             V3=8×10-3 м3, р3=1,44×105 Па,

                             V4=3,22×10-3 м3, р4=3,6×105 Па.

Задача 8 Найти изменение энтропии при нагревании воды массой M=100 г от температуры t1=0 0С до температуры t2=100 0С и последующем превращении воды в пар той же температуры.

                                           (1)                                    

При бесконечно малом изменении dT температуры нагреваемого тела затрачивается количество теплоты dQ=McdT, где M – масса тела, с – его удельная теплоемкость. Подставив dQ в формулу (1), получим формулу для вычисления изменения энтропии при нагревании воды:

;

;

DS/=132 Дж/К.

          При вычислении по формуле (1) изменения энтропии во время превращения воды в пар той же температуры T = const,  и тогда

                                                      ,                                                (2)

где    Q – количество теплоты, переданное при превращении нагретой воды в пар той же температуры.

Подставив в равенство (2) выражение количества теплоты , где

l - удельная теплота парообразования, получим:

;

DS//=605 Дж/К.

Полное изменение энтропии при нагревании и последующем превращении ее в пар DS=DS/+DS//=737 Дж/К.

Ответ: DS/=132 Дж/К; DS//=605 Дж/К.

Задачи, рекомендуемые для самостоятельного решения

1. Сосуд емкостью V=10-2 м3 разделен пополам полунепроницаемой пере­го­род­кой. В одну половину сосуда введено 2 г водорода и 4 г гелия. Через перегородку может диффундировать только водород. Во время процесса поддерживается температура 100 0С. Считая газы идеальными, определить установившееся давление в обеих частях сосуда.

Ответ: p=9,6×105 Па

2. Полагая температуру воздуха и ускорение свободного падения не за­ви­ся­щими от высоты, определить, на какой высоте h над уровнем моря плотность воз­духа меньше своего значения на уровне моря в 2 раза. Температура воздуха t=0 0С.

Ответ: h=5,5 км

3. Температура окиси азота NO Т=300 К. Определить долю молекул, скорость которых находится в интервале от u1=820 м/с до u2=830 м/с.

Ответ: DN/N=0,4 %

4. В баллоне вместимостью 10 дм3 находится гелий массой 2 г. Определить среднюю длину свободного пробега молекул гелия.

Ответ: l=0,21×10-6 м

5. Вычислить удельные теплоемкости неона и водорода при постоянном объеме сv и давлении сp, принимая эти газы за идеальные.

Ответ: сv1=624, cp1=1,04×103 , cv2=10,4×103, cp2=14,6×103 .

6. Двухатомному газу сообщено 500 кал тепла. При этом газ расширяется при постоянном давлении. Найти работу расширения газа.

Ответ: А=600

7. Идеальная тепловая машина работает по циклу Карно. При этом 80 % тепла, получаемого от нагревателя, передается холодильнику. Количество теплоты, получаемое от нагревателя, равно 6,3×106 . Найти КПД цикла.

Ответ: h=20 %

8. Определить изменение DS энтропии при изотермическом расширении кислорода массой m=10 г  от объема V1=25 л до объема V2=100 л.

Ответ: DS=3,6

Контрольное задание №2

201. Масса m каждой из пылинок, взвешенных в воздухе, равна 1×10-18 г. Отношение концентрации пылинок n1 на высоте h1=1 м к их концентрации n0 на высоте h0=0 равно 0,787. Температура воздуха Т=300 К. Найти по этим данным значение постоянной Авогадро NА.

202. На сколько уменьшится атмосферное давление р=100 кПа при подъеме наблюдателя над поверхностью Земли на высоту h=100 м? Считать, что температура воздуха равна 290 К и не изменяется с высотой.

203. Пылинки, взвешенные в воздухе, имеют массу m=10-18 г. Во сколько раз уменьшится их концентрация n при увеличении высоты на Dh=10 м? Температура воздуха Т=300 К.

204. На какой высоте давление воздуха составляет 75 % от давления на уровне моря? Температуру считать постоянной и равной 0 0С.

205. Пассажирский самолет совершает полеты на высоте 8300 м. Чтобы не снабжать пассажиров кислородными масками, в кабинах при помощи компрессора поддерживается давление, соответствующее высоте 2700 м. Найти разность давле­ний внутри и снаружи кабины. Среднюю температуру наружного воздуха считать равной 0 0С.

206. На какой высоте плотность воздуха составляет 50 % от плотности его на уровне моря. Температуру считать постоянной и равной 0 0С.

207. На какой высоте давление воздуха составляет 55 % от давления на уровне моря? Температуру считать постоянной и равной 0 0С.

208. На поверхности Земли барометр показывает 101 кПа. Каково будет давление при подъеме барометра на высоту 540 м. Температуру считать одинаковой и равной 7 0С.

209. Определить высоту горы, если давление на ее вершине равно половине давления на уровне моря. Температура всюду одинакова и равна 0 0С.

210. Пассажирский самолет совершает полеты на высоте 8300 м. Чтобы не снабжать пассажиров кислородными масками, в кабинах при помощи компрессора поддерживается давление, соответствующее высоте 2700 м. Найти, во сколько раз плотность r2 воздуха в кабине больше плотности r1 воздуха вне ее, если тем­пература наружного воздуха t1= -20 0С, а температура воздуха в кабине t2=+20 0С.

211. Зная функцию распределения молекул по скорости, вывести формулу наиболее вероятной скорости.

212. Используя функцию распределения молекул по скорости, получить функцию, выражающую распределение молекул по относительным скоростям u (u=u/uВ).

213. Определить относительное число молекул идеального газа, скорости которых заключены в пределах от нуля до одной сотой наиболее вероятной скорости.

214. Какая часть молекул азота при 150 0С обладает скоростями от 300 м/с до 325 м/с?

215. Какая часть молекул кислорода при 0 0С обладает скоростью от 100 м/с до   110 м/с?

216. Какая часть молекул азота, находящегося при температуре Т, имеет скорости, лежащие в интервале от uВ до uВ +Du, где Du=20 м/с, Т=400 К.

217. Определить температуру кислорода, для которой функция распределения молекул по скоростям будет иметь максимум при скорости u=420 м/с.

218. Определить температуру водорода, при которой средняя квадратичная скорость молекул больше их наиболее вероятной скорости на Du=400 м/с.

219. Во сколько раз средняя квадратичная скорость молекул водорода больше средней квадратичной скорости молекул водяных паров при той же температуре?

220. Азот находится под давлением р=105 Па при температуре Т=300 К. Найти относительное число молекул азота, скорости которых лежат в интервале от uВ до uВ+Du, где Du=1 м/с.

221. Найти среднюю длину свободного пробега <l> молекул водорода при давлении р=0,1 Па и температуре Т=100 К.

222. При каком давлении р средняя длина свободного пробега <l> молекул равна 1 м, если температура газа равна 300 К.

223. Баллон вместимостью V=10 л содержит водород массой 1 г. Определить среднюю длину свободного пробега молекул <l>.

          224. Найти зависимость средней длины свободного пробега <l> молекул идеального газа от давления р при следующих процессах: 1) изохорическом;

      2) изобарическом. Изобразить эти зависимости на графиках.

225. Найти среднее число <z> столкновений, испытываемых в течение 1с молекулой кислорода при нормальных условиях.

226. Найти зависимость среднего числа столкновений <z> молекулы идеального газа в 1 с от температуры Т при изохорическом и изобарическом процессах. Изобразить эти зависимости на графиках.

227. Углекислый газ и азот находятся при одинаковых температуре и давлении. Найти для этих газов отношение коэффициентов диффузии.

228. Найти коэффициент теплопроводности водорода, вязкость которого

       h=8,6 мкПа×с.

229. Найти коэффициент теплопроводности воздуха при температуре 10 0С и давлении 0,1 МПа. Диаметр молекулы воздуха принять равным 0,3 нм.

230. Углекислый газ и азот находятся при одинаковых температуре и давлении. Найти для этих газов отношение коэффициентов внутреннего трения.

231. Какой объем занимает смесь газов – азота массой m1=1 кг и гелия массой  m2=1 кг – при нормальных условиях?

232. Газ при температуре Т=309 К и давлении р=0,7 МПа имеет плотность  r=12 кг/м3. Определить относительную молекулярную массу газа.

233. В баллоне объемом v=25 л находится водород при температуре Т=290 К. После того как часть водорода израсходовали, давление в баллоне понизилось на Dр=0,4 МПа. Определить массу израсходованного водорода.

234. Баллон объемом V=30 л содержит смесь водорода и гелия при температуре Т=300 К и давлении р=828 кПа. Масса m смеси равна 24 г. Определить массу m1 водорода и m2 гелия.

235. В баллонах объемом V1=20 л и V2=44 л содержится газ. Давление в первом баллоне р1=2,4 МПа, во втором р2=1,6 МПа. Определить общее давление р и парциальные р1I и р2I после соединения баллонов, если температура газа осталась прежней.

236. Баллон объемом 12 л содержит углекислый газ. Давление газа р равно

1 МПа, температура Т=300 К. Определить массу газа в баллоне.

237. Сколько молекул газа содержится в баллоне вместимостью V=30 л при температуре Т=300 К и давлении р=5 Мпа?

238. Давление газа равно 1 МПа, концентрация его молекул равна 1010 см-3. Определить: 1) температуру газа; 2) среднюю кинетическую энергию посту­па­тель­ного движения молекул.

239. В колбе вместимостью V=240 см3 находится газ при температуре Т=290 К и давлении 50 кПа. Определить количество вещества газа n и число его молекул N.

240. 12 г газа занимают объем V=4×10-3 м3 при температуре 7 0С. После нагревания газа при постоянном давлении его плотность r=1×10-3 г/см3. До какой температуры нагрели газ?

241. Каковы удельные теплоемкости сv и сp смеси газов, содержащей кислород m1=10 г и углекислый газ m2=20 г?

242. Определить удельную теплоемкость сv смеси газов, содержащей V1=5 л водорода и V2=3 л гелия. Газы находятся при одинаковых условиях.

243. Определить удельную теплоемкость сp смеси кислорода и гелия, если количество вещества (n=) первого компонента равно 2 молям, а количество вещества второго –  4 молям.

244. Смесь газов состоит из хлора и криптона, взятых при одинаковых условиях и в равных объемах. Определить удельную теплоемкость сp смеси.

245. Вычислить удельные теплоемкости сv и сp газов: 1) гелия; 2) водорода; 3) угле­кислого газа.

246. Разность удельных теплоемкостей (сp - сv) некоторого двухатомного газа равна 260.  Найти молярную массу m газа и его удельные теплоемкости сv и сp.

247. Дана смесь газов,  состоящая из неона, масса которого m1=4 кг и водорода, масса которого m2=1 кг. Газы считать идеальными. Определить удельные теплоемкости смеси газов в процессах: p=const, V=const.

248. Принимая отношение теплоемкостей для двухатомных газов g=1,4, вычислить удельные теплоемкости кислорода.

249. Найти отношение сp/сv  для смеси газов, состоящей из 10 г гелия и 4 г водорода. 

250. Вычислить отношение ср/сv для смеси 3 молей аргона и 5 молей кислорода.

251. Водород занимает объем V1=10 м3 при давлении р1=100 кПа.  Газ нагрели при постоянном объеме до давления р2=300 кПа. Определить:1) изменение внутренней энергии газа; 2) работу А, совершаемую газом; 3) количество теплоты Q, сообщенное газу.

252. Азот нагревается при постоянном давлении, причем ему было сообщено количество теплоты Q=21 кДж. Определить работу А, которую совершил при этом газ, и изменение его внутренней энергии DU.

253. Водород массой m=4 г был нагрет на DТ=10 К при постоянном давлении. Определить работу расширения газа.

254. Какая работа А совершается при изотермическом расширении водорода массой m=5 г, взятого при температуре 290 К, если объем увеличивается в три раза?

255. Расширяясь, водород совершил работу А=6 кДж. Определить количество теплоты Q, подведенное к газу, если процесс происходит:1) изобарически;

     2) изотермически.

256. Водород при нормальных условиях имел объем V1=100 м3. Найти изменение DU внутренней энергии газа при его адиабатическом расширении до объема V2=150 м3.

257. 1 кг воздуха, находящегося при температуре 300 С и давлении  1,5 атм, расширяется адиабатически и давление при этом падает до 1 атм. Найти:

      1) конечную температуру; 2) работу, совершенную газом при расширении.

258. 1 кмоль кислорода находится при нормальных условиях, а затем его объем увеличивается до V=5V0. Построить график  зависимости p(V), если:
1) расширение происходит изотермически; 2) адиабатически. Значения р найти для объемов: V0, 2V0, 3V0, 4V0, 5V0.

259. Некоторая масса газа, занимающего объем V1=0,01 м3, находится при давлении Р1=0,1 МПа и температуре Т1=300 К. Газ нагревается вначале при постоянном объеме до температуры Т2=320 К, а затем при постоянном давлении до температуры Т3=350 К. Найти работу, совершаемую газом при переходе из состояния 1 в состояние 3.

260. 1 кмоль азота, находящегося при нормальных условиях, расширяется адиабатически от объема V1 до объема V2=5V1. Найти: 1) изменение внутренней энергии газа; 2) работу, совершенную при расширении.

261. Идеальный двухатомный газ, содержащий количество вещества n=1 моль, находящийся под давлением р1=0,1 МПа при температуре Т1=300 К, нагревают при постоянном объеме до давления р2=0,2 МПа. После этого газ изотермически расширился до начального давления, а затем изобарически был сжат до начального объема V1. Построить график цикла. Определить температуру Т газа для характерных точек цикла и КПД цикла.

262. Идеальный многоатомный газ совершает цикл, состоящий из двух изохор и двух изобар, причем наибольшее давление газа в два раза больше наименьшего, а наибольший объем в четыре раза больше наименьшего. Определить кпд цикла.

263. В результате кругового процесса газ совершил работу А=1 Дж и передал охладителю количество теплоты Q2=4,2 Дж. Определить КПД цикла.

264. Идеальный газ совершает цикл Карно. Температура охладителя равна  290 К. Во сколько раз увеличится КПД цикла, если температура нагревателя повысится от 400 К до 600 К?

265. Идеальный газ совершает цикл Карно, получив от нагревателя количество теплоты Q1=4,2 кДж, совершил работу А=590 Дж. Найти КПД цикла. Во сколько раз температура Т1 нагревателя больше температуры Т2охладителя?

266. Идеальный газ совершает цикл Карно. Работа А1 изотермического расширения равна 5 Дж. Определить работу А2 изотермического сжатия, если КПД цикла равен 0,2.

267. Определить КПД цикла, состоящего из двух адиабат и двух изохор, совершаемого идеальным газом, если известно, что в процессе адиабатного расширения абсолютная температура газа Т2=0,75Т1, а в процессе адиабатного сжатия Т3=0,75Т4.

268. Идеальная тепловая машина, работающая по циклу Карно, имеет температуру нагревателя 2270 С, температуру холодильника 127 0С. Во сколько раз нужно увеличить температуру нагревателя, чтобы КПД машины увеличился в 3 раза?

269. Идеальная тепловая машина, работающая по циклу Карно, получает за каждый цикл от нагревателя 2514 Дж. Температура нагревателя 400 К, холодильника – 300 К. Найти работу, совершаемую машиной за один цикл, и количество тепла, отдаваемое холодильнику за один цикл.

270. Идеальная тепловая машина работает по циклу Карно. Определить КПД цикла, если известно, что за один цикл была произведена  работа, равная 3000 Дж, и холодильнику было передано 13,4×103 Дж.

271. В результате изохорического нагревания водорода массой m=1 г давление р газа увеличилось в 2 раза. Определить изменение DS энтропии газа.

272. Найти изменение DS энтропии при изобарическом расширении азота массой m=4 г от объема V1=5 л до объема V2=9 л.

273. Кислород массой m=2 кг увеличил свой объем в 5 раз один раз изотермически, другой – адиабатически. Найти изменение энтропии в каждом из указанных процессов.

274. Водород массой m=100 г был изобарически нагрет так, что его объем увеличился в 3 раза, затем водород был изохорически охлажден так, что давление его уменьшилось в 3 раза. Найти изменение энтропии в ходе указанных процессов.

275. Найти изменение энтропии при переходе 8 г кислорода от объема в 10 л при температуре 80 0С к объему в 40 л при температуре 300 0С.

276. 6,6 г водорода расширяется изобарически до увеличения объема в два раза. Найти изменение энтропии при этом расширении.

277. Найти изменение энтропии DS 5 г водорода, изотермически расши­рившегося от объема 10 л до объема 25 л.

278. Найти приращение энтропии DS при расширении 2 г водорода от объема 1,5 л до объема 4,5 л, если процесс расширения происходит при постоянном давлении.

279. 10 г кислорода нагреваются от t1=50 0С до t2=150 0С. Найти изменение энтропии, если нагревание происходит: 1) изохорически; 2) изобарически.

  280. При нагревании 1 кмоля двухатомного газа его абсолютная температура увеличивается в 1,5 раза. Найти изменение энтропии, если нагревание происходит: 1) изохорически; 2) изобарически.

Таблица №1

Варианты для решения задач по теме

“Механика и элементы специальной теории относительности”

Таблица №2

Варианты для решения задач по теме

 “Основы молекулярной физики и термодинамики”

Список литературы

1.                 Дмитриева В.Ф. Физика. М.: ВШ, 1993. 415 с.

2.                 Савельев И.В. Курс общей физики. Т.1. Механика. Молекулярная физика. М.: Наука, 1982. 432 с.

3.                 Зисман Г.А., Тодес О.М. Курс общей физики Т.1. Механика, молекулярная физика, колебания и волны. М.: Наука, 1969. 340 с.

4.                 Фирганг Е.В. Руководство к решению задач по курсу общей физики. М.: ВШ, 1977. 351 с.

5.                 Чертов А.Г., Воробьев А.А. Задачник по физике. М.: ВШ, 1988. 527 с.

Содержание

Введение

Список литературы                                                

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6