Термодинамика

   Далее этот вопрос рассматривается в 3 главе.

             2.3.1в.  ЛАЗЕР , КАК САМООРГАНИЗУЮЩАЯСЯ

                          СИСТЕМА.

   Итак , в качестве примера физической системы , упорядоченность которой есть следствие внешнего воздействия , рассмотрим лазер.

   При самом грубом описании лазер - это некая стеклянная трубка , в которую поступает свет от некогерентного источника (обычной лампы) , а выходит из нее узконаправленный когерентный световой пучок , при этом выделяется некоторое количества тепла.

   При малой мощности накачки эти электромагнитные волны , которые испускает лазер , некоррелированные , и излучение подобно излучению обычной лампы. Такое некогерентное излучение - это шум , хаос. При повышении внешнего воздействия в виде накачки до порогового критического значения некогерентный шум преобразуется в  ²чистый тон² , то есть испускает число синусоидальная волна - отдельные атомы ведут себя строго коррелированным образом , самоорганизуются.

                            Лампа  ®  Лазер

                              Хаос   ®  Порядок

                              Шум   ®  Когерентное излучение

   В сверхкритической области режим ²обычной лампы² оказывается не стабильным , а лазерный режим стабильным , рисунок 2.9.

Рис. 2.9.  Излучение лазера в до критической (а) и

                         сверхкритической (б) области.

   Видно , что образование структуры в жидкости и в лазере формально описывается весьма сходным образом . Аналогия связана с наличием тех же самых типов бифуркаций в соответствующих динамических уровнях.

   Подробнее этот вопрос рассмотрим в практической части , в 3 главе.

2.3.2.  ХИМИЧЕСКИЕ  СИСТЕМЫ .

   В этой области синергетика сосредотачивает свое внимание на тех явлениях , которые сопровождаются образованием макроскопических структур . Обычно если дать реагентам про взаимодействовать, интенсивно перемешивая реакционную смесь, то конечный продукт получается однородный . Но в некоторых реакциях могут возникать временные, пространственные или смешанные ( пространственные - временные) структуры . Наиболее известным примером может служить реакция Белоусова - Жаботинского .

      2.3.2а.  РЕАКЦИЯ  БЕЛАУСОВА - ЖАБОТИНСКОГО.

    Рассмотрим реакцию Белоусова -Жаботинского . В колбу сливают в определенных пропорциях Ce2(SO4) , KBrO3 , CH2(COOH)2, H2SO4 , добавляют несколько капель индикатора окисления - восстановления - ферроина и перемешивают . Более конкретно - исследуются окислительно - восстановительные реакции

                          Ce 3+_ _ _ Ce 4+ ;  Ce 4+_ _ _ Ce 3+

в растворе сульфата церия , бромида калия , малоковой кислоты и серной кислоты . Добавление феррогена позволяет следить за ходом реакции по изменению цвета ( по спектральному поглащению ) . При высокой концентрации реагирующих веществ , превышающих критическое значение сродства , наблюдаются необычные явления .

При составе

              сульфат церия - 0,12 ммоль/л

              бромида калия - 0,60 ммоль/л

              малоковой кислоты - 48 ммоль/л

              3-нормальная серная кислота ,

               немного ферроина

При 60 С изменение концентрации ионов церия приобретает характер релаксационных колебании - цвет раствора со временем периодически изменяется от красного (при избытке Се3+ ) до синего ( при избытке Се 4+) , рисунок 2.10а .

              Рис. 2.10.  Временные (а) и пространственные (б)

                               периодические структуры в реакции

                                Белоусова - Жаботинского.

...Такая система и эффект получили название химические часы . Если на реакцию Белоусова - Жаботинского накладывать возмущение - концентрационный или температурный импульс , то есть вводя несколько миллимолей бромата калия или прикасаясь к колбе в течении нескольких секунд , то после некоторого переходного режима будут снова совершаться колебания с такой же амплитудой и периодом , что и до возмущения . Диссипативная

Белоусова - Жаботинского , таким образом , является ассимптотически устойчивой . Рождение и существование незатухающих колебаний в такой системе свидетельствует о том , что отдельные части системы действуют согласованно с поддержанием определенных соотношений между фазами . При составе

                   сульфата церия - 4,0 ммоль/л,

                   бромида калия - 0,35 ммоль/л,

                   малоковой кислоты - 1,20 моль/л,

                   серной кислоты - 1,50 моль/л,

                   немного ферроина

при 20 С в системе происходят периодические изменения цвета с периодом около 4 минут . После нескольких таких колебаний спонтанно возникают неоднородности концентрации и образуются на некоторое время ( 30 минут ) , если не подводить новые вещества , устойчивые пространственные структуры , рисунок 2.10б . Если непрерывно подводить реагенты и отводить конечные продукты , то структура сохраняется неограниченно долго .

2.3.3. БИОЛОГИЧЕСКИЕ  СИСТЕМЫ .

   Животный мир демонстрирует множество высокоупорядоченных структур и великолепно функционирующих . Организм как целое непрерывно получает потоки энергии ( солнечная энергия , например , у растений ) и веществ ( питательных ) и выделяет в окружающую среду отходы жизнедеятельности . Живой организм - это система открытая . Живые системы при этом функционируют определенно в дали от равновесия . В биологических системах , процессы самоорганизации позволяют биологическим системам ²трансформировать² энергию с молекулярного уровня на макроскопический . Такие процессы , например , проявляются в мышечном сокращении , приводящим к всевозможным движениям , в образовании заряда у электрических рыб , в распознавании образов , речи и в других процессах в живых системах. Сложнейшие биологические системы являются одним из главных объектов исследования в синергетике . Возможность полного объяснения особенностей биологических систем , например , их эволюции с помощью понятий открытых термодинамических систем и синергетики в настоящее время окончательно неясна . Однако можно указать несколько примеров явной связи между понятийным и математическим аппаратом открытых систем и биологической упорядоченностью.

   Более конкретно биологические системы мы рассмотрим в 3 главе , посмотрим динамику популяций одного вида  и систему ²жертва - хищник² .

2.3.4.  СОЦИАЛЬНЫЕ  СИСТЕМЫ .

   Социальная система  представляет собой определенное целостное образование , где основными элементами являются люди , их нормы и связи . Как целое система образует новое качество , которое не сводится к сумме качеств ее элементов . В этом наблюдается некоторая аналогия с изменением свойств при переходе от малого к    очень большому числу частиц в статической физике - переход от динамических к статическим закономерностям . При этом весьма очевидно , что всякие аналогии с физико - химическими и биологическими системами весьма условны , поэтому проводить аналогию между человеком и молекулой или даже нечто подобное было бы не допустимым заблуждением . Однако , понятийный и математический аппарат нелинейной неравновесной термодинамики и синергетики оказываются полезными в описании и анализе элементов самоорганизации в человеческом обществе.

   Социальная самоорганизация - одно из проявлений спонтанных или вынужденных процессов в обществе , направленная на упорядочение жизни социальной системы , на большее саморегулирование. Социальная система является системой открытой способная , даже вынужденная обмениватся с внешним миром информацией , веществом , энергией. Социальная самоорганизация возникает как результат целеноправленных индивидуальных действий ее составляющих.

   Рассмотрим самоорганизацию в социальной системы напримере урбанизации зоны . Проводя анализ урбанизации географических зон можно предположить , что рост локальной заселенности данной территории будет обусловлен наличием в этой зоне рабочих мест . Однако , здесь существует некоторая зависимость : состояние рынка , определяющего потребность в товарах и услугах и занятости . Отсюда возникает механизм нелинейной обратной связи в процессе роста плотности населения. Такая задача решается на основе логистического уравнения , где зона характеризуется ростом ее производительности  N , новых экономических функций  S - функция в локальной области  i  города. Логистическое уравнение описывает эволюцию численности населения и может быть тогда представлена в виде

                      dni

¾    =   Кni(N + å Rk Sik - ni) - dni         ( 2.13 )

dt                         k

где  Rk   вес данной к - ой  функции , ее значимость . Экономическая функция изменяется с ростом численности : определяется спросом на к - й  продукт в  i - й  области в зависимости от увеличения численности населения и конкуренции предприятий в других зонах города . Появление новой экономической функции играет роль социально экономической флуктуации и нарушает равномерное распределение плотности населения. Такие численные расчеты по логистическим уравнениям могут быть полезны прогнозировании многих проблем.

ПОСТАНОВКА  ЗАДАЧИ.

   В рассмотренных примерах в литературе имеются лишь общие выводы и заключения , не приведены конкретные аналитические расчеты или численные .

   Целью настоящей дипломной работы является аналитические и численные исследования самоорганизации различных систем .

ГЛАВА 3

   АНАЛИТИЧЕСКИЕ  И ЧИСЛЕННЫЕ  ИССЛЕДОВАНИЯ 

   САМООРГАНИЗАЦИИ  РАЗЛИЧНЫХ  СИСТЕМ.

3.1.       ЯЧЕЙКИ  БЕНАРА .

   Для того , чтобы экспериментально изучить структуры , достаточно иметь сковороду , немного масла и какой ни будь мелкий порошок , чтобы было заметно движение жидкости . Нальем в сковороду масло с размешанным в нем порошком и будем подогревать ее снизу (рис. 3.1)

Рис. 3.1. Конвективные ячейки Бенара.

   Если дно сковороды плоское и нагреваем мы ее равномерно , то можно считать , что у дна и на поверхности поддерживаются постоянные температуры , снизу -  Т1 , сверху -  Т2 . Пока разность температуры  DТ = Т1 - Т2 невелика , частички порошка неподвижны , а следовательно , неподвижна и жидкость .

   Будем плавно увеличивать температуру Т1 . С ростом разности температур до значения  DТc  наблюдается все та же картина , но когда  DТ > DТc , вся среда разбивается на правильные шестигранные ячейки (см. Рис. 3.1) в центре каждой из которых жидкость движется вверх , по кроям вниз . Если взять другую сковороду , то можно убедиться , что величина возникающих ячеек практически не зависит от ее формы и размеров . Этот замечательный опыт впервые был проделан Бенаром в начале нашего века , а сами ячейки получили название ячеек Бенара .

   Элементарное качественное объяснения причины движения жидкости заключается в следующем . Из-за теплового расширения жидкость расслаивается , и в более нижнем слое плотность жидкости  r1  меньше , чем в верхнем  r2  . Возникает инверсный градиент плотности , направленный противоположно силе тяжести . Если выделить элементарный объем  V , который немного смещается вверх в следствии возмущения , то в соседнем слое архимедова сила станет больше силы тяжести , так как  r2  >  r1 . В верхней части малый объем , смещаясь вниз , поподает в облость пониженной плотности , и архимедова сила будет меньше силы тяжести  FA < FT  , возникает нисходящее движение жидкости . Направление движения нисходящего и восходящего потоков в данной ячейке случайно , движение же потоков в соседних ячейках , после выбора направлений в данной ячейке детерминировано . Полный поток энтропии через границы системы отрицателен , то есть система отдает энтропию , причем в стационарном состоянии отдает столько , сколько энтропии производится внутри системы (за счет потерь на трение).

                     dSe        q        q                  T1 - T2

¾   =   ¾  -   ¾    = q *    ¾¾¾    < 0      (3.1)

dt          T2        T1               T1 * T2

   Образование именно сотовой ячеистой структуры объясняется минимальными затратами энергии в системе на создание именно такой формы пространственной структуры . При этом в центральной части ячейки жидкость движется вверх , а на ее периферии - вниз.

   Дальнейшее сверхкритическое нагревание жидкости приводит к разрушению пространственной структуры - возникает хаотический турбулентный режим.

       Рис. 3.2.   Иллюстрация возникновения тепловой

                         конвекции в жидкости .

   К этому вопросу прикладывается наглядная иллюстрация возникновения тепловой конвекции в жидкости .

3.2 ЛАЗЕР , КАК САМООРГАНИЗУЮЩАЯСЯ СИСТЕМА.

   Во второй главе этот вопрос мы уже рассматривали . Здесь же , рассмотрим простую модель лазера .

   Лазер - это устройство , в котором в процессе стимулированного излучения порождаются фотоны .

   Изменение со временем числа фотонов  n  , или другими словами , скорость порождения фотонов , определяется уравнением вида :

                   dn / dt  =  «Прирост» - «Потери»          (3.2)

   Прирост обусловлен так называемым стимулированном излучением . Он пропорционален числу уже имеющихся фотонов и числу возбужденных атомов  N . Таким образом :

Прирост  =  G N n             (3.3)

    Здесь  G  -  коэффициент усиления , который может быть получен из микроскопической теории . Член , описывающий потери , обусловлен уходом фотонов через торцы лазера . Единственное допущение , которое мы принимаем , - это то , что скорость ухода пропорциональна числу имеющихся фотонов . Следовательно ,

Потери  =  2cn          (3.4)

2c  =  1/ t0 , где  t0 - время жизни фотона в лазере .

   Теперь следует учесть одно важное обстоятельство , которое делает (2.1) нелинейным уравнением вида :

             (3.5)

   Число возбужденных атомов уменьшается за счет испускания фотонов . Это уменьшение  DN  пропорционально числу имеющихся в лазере фотонов , поскольку эти фотоны постоянно заставляют атомы возвращаться в основное состояние .

DN = an              (3.6)

   Таким образом , число возбужденных атомов равно

N = N0 - DN                (3.7)

где  N0 - число возбужденных атомов , поддерживаемое внешней

              накачкой , в отсутствии лазерной генерации.

   Подставляя (3.3) - (3.7) в (3.2) , получаем основное уравнение нашей упрощенной лазерной модели :

            (3.8)

где постоянная   k   дает выражение :

k1  =  aG         

k  =  2c - GN0  ><  0     (3.9)

   Если число возбужденных атомов  N0  (создаваемых накачкой) невелико , то  k  положительно , в то время как при достаточно больших  N0  k - может стать отрицательным . Изменение знака происходит когда

GN0  =  2c               (3.10)

   Это условие есть условие порога лазерной генерации .

   Из теории бифуркации следует , что при  k > 0  лазерной генерации нет , в то время как при   k < 0  лазер испускает фотоны.

   Ниже или выше порога лазер работает в совершено разных режимах .

   Решим уравнение (3.8) и проанализируем его аналитически :

-  это уравнение одномодового лазера .

   Запишем уравнение (3.8) в следующем виде :

   Разделим исходное уравнение на  n2 .

и введем новую функцию   Z :

1/n = n-1 = Z    Þ   Z1 = - n-2    следовательно уравнение примет вид :

перепишем его в следующем виде :

разделим обе части данного уравнения на  -1 , получим

           (3.11)

   Уравнение  (3.11)  - это уравнение  Бернулли , поэтому сделаем следующую замену   Z = U×V  , где  U  и  V  неизвестные пока функции  n  , тогда     Z1 = U1 V + U V1 .

   Уравнение (3.11)  , после замены переменных , принимает вид

U1 V + UV1 - k UV  =  k1

преобразуем , получим

U1 V + U(V1 - k V) = k1              (3.12)

   Решим уравнение (3.12)

V1 - k V = 0   ®   dV/dt = k V 

сделаем разделение переменных         dV/V =k dt    ®   ln V = k t

результат  V = ekt    (3.13)

   Отсюда мы можем уравнение (3.12) переписать в виде :

U1 ekt  = k1

  - это то же самое , что        dU/dt = k1e-kt      ,  dU = k1e -kt dt       выразим отсюда  U  , получим

      (3.14)

По уравнению Бернулли мы делали замену  Z = U V   подставляя уравнения (3.13) и (3.14) в эту замену , получим

   Ранее вводили функцию        Z = n-1    , следовательно

        (3.15)

   Начальное условие      n0=1/(c-k1/k)  , из этого условия мы можем определить константу   с  следующим образом

   Подставляя , найденную нами константу в уравнение (3.15) , получим

       (3.16)

   Исследуем функцию (3.16) при  k = 0 , k < 0 , k > 0 .

   При  k®0 ; ekt ® 0 ;  (ekt - 1)®0  , то есть  (ekt - 1)×k1/k®0×¥ (неопределенность) , раскроем эту неопределенность по правилу Лопиталя . Эту неопределенность вида   0×¥   следует привести к виду     . При этом , как и всегда при применении правила Лопиталя , по ходу вычислений рекомендуется упрощать получившиеся выражения , следующим образом :

n(k)при  k®0 ® 0  , следовательно   

   Перепишем  (3.16) в следующем виде

   Линеаризуем нелинейное уравнение , получим

ln n = - kt + c   Þ  

   Построим график для этих условий

      Рис. 3.3    К самоорганизации в одномодовом лазере :

кривая 1 : k < 0 , режим лазерной генерации

кривая 2 : k = 0 , точка бифуркации , порог

кривая 3 : k > 0 , режим лампы.

   При  k = 0  уравнение (3.8)  примет вид

решая его , получим

            (3.8)

   При условии   ; n(t) = const  , функция (3.8) приближается к стационарному состоянию , не зависимо от начального значения  n0 , но в зависимости от знаков  k и k1 (смотри рисунок 3.3).  

   Таким образом , функция (3.8) принимает стационарное решение

3.3.      ДИНАМИКА  ПОПУЛЯЦИИ .

   О распространении и численности видов была собрана обширная информация . Макроскопической характеристикой , описывающей популяцию , может быть число особей в популяции . Это число играет роль параметра порядка . Если различные виды поддерживаются общим пищевым ресурсом , то начинается межвидовая борьба , и тогда применим принцип Дарвина : выживает наиболее приспособленный вид . ( Нельзя не отметить сильнейшую аналогию , существующую между конкуренцией лазерных мод и межвидовой борьбой ). Если имеются однотипные пищевые ресурсы , то становится возможным сосуществование видов . Численность видов может быть подвержена временным колебаниям.

ОДИН  ВИД.

   Рассмотрим сначала одну популяцию с числом особей в ней  n . При наличии пищевых ресурсов  А особи размножаются со скоростью :

и гибнут со скоростью :

   Здесь   k  и  d  - некоторые коэффициенты рождаемости и смертности , в общем случае зависящее от параметров внешней среды обитания . Если бы количество пищи было неограниченно , то эволюционное уравнение выглядело бы так :

   Введем обозначение       a = kA - d

   Оно было бы линейным и описывало бы неограниченный экспериментальный рост (при  kA > d), либо экспериментальную гибель (при  kA < d) популяции.

   Рис. 3.4     Кривая 1:  Экспоненциальный рост ; a>0 , kA>d

                   Кривая 2:  Экспоненциальная гибель ; a>0 , kA>d.

    В общем случае , однако , пищевые ресурсы ограничены , так что скорость потребления пищи

   Вместе с тем в общем случае возможно восстановление пищевых ресурсов со скоростью :

   Здесь , конечно , рассмотрен придельный случай сохранения полного количества органического вещества

A + n = N = const ,

N - способность среды обитания поддерживать популяцию.

   Тогда с учетом  A = N - n  получится следующее уравнение эволюции популяции одного вида (логистическое уравнение Ферхюльста ) :

     (3.17)

   Решим уравнение (3.17) аналитически , перепишем его следующим образом

   , обозначим   kN - d = k1

   Получим :

   Воспользуемся табличным интегралом ,  ,полученное уравнение примет вид :

решим это уравнение , преобразуя

сократим полученное выражение на  k  , и перенесем переменную  k1  в правую часть , получим

отсюда    n(t)  ® 

   Начальные условия :

откуда

   Подставляя   с   в решение , получим уравнение в следующем виде

ранее мы обозначали , что   , подставляем и преобразуем

сократим на   k - коэффициент рождаемости , окончательно получим решение уравнения (3.17)

   Итак , получено аналитическое решение логистического уравнения   -   это решение указывает на то , что рост популяции останавливается на некотором конечном стационарном уровне:

то есть параметр   n1  указывает высоту плато насыщения , к которому стремится  n(t)  с течением времени .

   Параметр  n0  указывает начальное значение численности одного вида популяции : n0 = n(t0) . Действительно ,   ,то есть  n1 - предельная численность вида в данной среде обитания . Иначе говоря , параметр  n1 характеризует емкость среды по отношению к данной популяции . И наконец , параметр (kN - d)  задает крутизну начального роста .

   Отметим , что при малой исходной численности  n0  (начальное число особи) начальный рост популяций будет почти экспоненциальным

Рис. 3.5.          Логистическая кривая.

               (эволюция популяции одного вида)

   Решение уравнения (3.17) можно представить с помощью логистической кривой (рис. 3.5) . Эволюция полностью детерминирована . Популяция перестает расти , когда ресурс среды оказывается исчерпанным .

   Самоорганизация - при ограниченном пищевом ресурсе. Система самоорганизованна и взрывоподобный рост популяции (рис. 3.4  Кривая 1) сменяется кривой с насыщением .

   Подчеркнем , что при описании данной биологической системы используют понятийный и физико-математический аппарат из нелинейной неравновесной термодинамики.

   Может случится , однако, что всегда за событиями , не управляемыми в рамках модели , в той же среде появится , первоначально в малых количествах , новые виды (характеризуемые другими экологическими параметрами  k,N и d) . В связи с такой экологической флуктуацией возникает вопрос о структурной устойчивости : новые виды могут либо исчезнуть , либо вытеснить первоначальных обитателей . Пользуясь линейным анализом устойчивости , не трудно показать , что новые виды вытесняют старые только в том случае , если 

   Последовательность , в которой виды заполняют экологическую нишу , представлена на рисунке 3.6.

             Рис. 3.6.     Последовательное заполнение экологической

                                ниши различными видами .

   Эта модель позволяет придать точным количественный смысл утверждению о том , что «выживает наиболее приспособленный» , в рамках задачи о заполнении заданной экологической ниши .

3.3.2. СИСТЕМА  «ЖЕРТВА - ХИЩНИК».

   Рассмотрим систему, состоящую из двух видов - это «жертва» и «хищник» (например , зайцы и лисицы) , то эволюция системы и ее самоорганизация выглядят иначе , чем в предыдущем случае.

   Пусть в биологической системе имеются две популяции - «жертв» - кролики (К) , и «хищников» - лисиц (Л), численностью К и Л .

   Проведем теперь рассуждение , которое позволит нам объяснить существование диссипативных структур .

   Кролики (К) поедают траву (Т) . Предположим , что запас травы постоянен и неисчерпаем . Тогда , одновременное наличие травы и кроликов способствуют неограниченному росту кроличьей популяции . Этот процесс можно символически изобразить так :

Кролики + Трава ® Больше кроликов

К + Т ® 2К

   Тот факт , что в стране кроликов всегда имеется в достатке травы , вполне аналогичен непрерывному подводу тепловой энергии в задаче с ячейками Бенара . Вскоре процесс , в целом , будет выглядеть как диссипативный (во многом аналогично процессу Бенара ).

   Реакция « Кролики  -  Трава » происходит спонтанно в направлении увеличения популяции кроликов, что является прямым следствием второго начала термодинамики .

   Но вот в нашу картину , где мирно резвятся кролики , прокрались хищные лисицы (Л), для которых кролики являются добычей . Подобно тому , как по мере поедания травы кроликов становится больше , за счет поедания кроликов возрастает число лисиц :

Лисицы + Кролики ® Больше лисиц

Л + К ® 2Л

   В свою очередь лисицы , как и кролики являются жертвами - на этот раз человека , точнее говоря происходит процесс

Лисицы ® Меха

   Конечный продукт - Меха , не играет непосредственной роли в дальнейшем ходе процесса . Этот конечный продукт можно , однако , рассматривать как носитель энергии, выводимой из системы , к которой она была в начале подведена (например, в виде травы ).

   Таким образом , в экологической системе также существует поток энергии - аналогично тому , как это имеет место в химической пробирке или биологической клетке .

   Совершенно ясно , что в действительности происходят периодические колебания численности популяции кроликов и лисиц , причем за нарастании численности кроликов следует нарастание численности лисиц , которые сменяются уменьшением численности кроликов , сопровождающимся столь же резким снижением численности лисиц , затем повышенным подъемом численности кроликов и так далее (рис. 3.7).

Рис. 3.7.   Изменение численности популяций кроликов и лисиц

                  со временем. Наличие периодичности означает 

                  возникновение экологической структуры.

   С течением времени численность обеих популяций меняется в соответствии с последовательным прохождением точек графика . Через некоторое время (конкретное значение зависит от быстроты поедания лисицами кроликов , а так же от скорости размножения обоих видов) весь цикл начинается вновь.

   Поведение популяций при различных степенях плодовитости , а так же различных способностях избегать истребления можно изучить количественно с помощью программы : ПОПУЛЯЦИЯ (в приложении).

   Эта программа реализует решение уравнений для диссипативной структуры «кролики - лисицы». Результат решения изображается графически . Решается система дифференциальных уравнений

   Здесь буквы  К, Л, Т - означают соответственно количество кроликов , лисиц , травы ; коэффициенты  k1, k2, k3 - обозначают соответственно скорость рождения кроликов , скорость поедания кроликов лисицами и скорость гибели лисиц.

   В программе понадобится уточнить значение отношений (примерно равное 1), постоянное количество травы (так же принимаемое обычно равным 1), начальные значения популяции кроликов и лисиц (обычно 0,4), продолжительность цикла (типичное значение 700) и шаг по оси времени (обычно равный 1).

   Программа популяции - это график. Он показывает поведение популяций при различных степенях плодовитости , а так же различных способностях избегать истребление.

   Совершенно ясно , что в действительности происходят периодические колебания численности популяции кроликов и лисиц , причем за нарастании численности кроликов следует нарастание численности лисиц , которые сменяются уменьшением численности кроликов , сопровождающимся столь же резким снижением численности лисиц , затем повышенным подъемом численности кроликов и так далее, то есть видно , что система самоорганизуется.

   Программа прилагается.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

   Мы видели , что необратимость времени тесно связана с неустойчивостями в открытых системах . И.Р. Пригожин определяет два времени . Одно - динамическое , позволяющее задать описание движения точки в классической механике или изменение волновой функции в квантовой механике . Другое время - новое внутренние время , которое существует только для неустойчивых динамических систем . Оно характеризует состояние системы , связанное с энтропией .

   Процессы биологического или общественного развития не имеют конечного состояния . Эти процессы неограниченны . Здесь , с одной стороны , как мы видели , нет какого-либо противоречия со вторым началом термодинамики , а с другой стороны - четко виден поступательный характер развития (прогресса) в открытой системе. Развитие связано , вообще говоря , с углублением неравновесности , а значит , в принципе с усовершенствованием структуры . Однако с усложнением структуры возрастает число и глубина неустойчивостей , вероятность бифуркации .

   Успехи решения многих задач позволили выделить в них общие закономерности , ввести новые понятия и на этой основе сформулировать новую систему взглядов - синергетику . Она изучает вопросы самоорганизации и поэтому должна давать картину развития и принципы самоорганизации сложных систем , чтобы применять их в управлении . Эта задача имеет огромное значение , и , по нашему мнению , успехи в ее исследовании будут означать продвижение в решении глобальных задач : проблемы управляемого термоядерного синтеза , экологических проблем , задач управления и других .

   Мы понимаем , что все приведенные в работе примеры относятся к модельным задачам , и многим профессионалам , работающим в соответствующих областях науки , они могут показаться слишком простыми . В одном они правы : использование идей и представлений синергетики не должно подменять глубокого анализа конкретной ситуации . Выяснить , каким может быть путь от модельных задач и общих принципов к реальной проблеме - дело специалистов. Кратко можно сказать так : если в изучаемой системе можно выделить один самый важный процесс (или небольшое их число) , то проанализировать его поможет синергетика . Она указывает направление , в котором нужно двигаться . И , по-видимому , это уже много.

   Исследование большинства реальных нелинейных задач было невозможно без вычислительного эксперимента , без построения приближенных и качественных моделей изучаемых процессов (синергетика играет важную роль в их создании). Оба подхода дополняют друг друга . Эффективность применения одного зачастую определяется успешным использованием другого . Поэтому будущее синергетики тесно связано с развитием и широким использованием вычислительного эксперимента .

   Изученные в последние годы простейшие нелинейные среды обладают сложными и интересными свойствами . Структуры в таких средах могут развиваться независимо и быть локализованы, могут размножаться и взаимодействовать . Эти модели могут оказаться полезными при изучении широкого круга явлений .

   Известно , что имеется некоторая разобщенность естественно научной и гуманитарной культур . Сближение , а в дальнейшем , возможно , гармоническое взаимообогащение этих культур может быть осуществлено на фундаменте нового диалога с природой на языке термодинамики открытых систем и синергетики .

ЛИТЕРАТУРА :

1. Базаров И.П.  Термодинамика. - М.: Высшая школа, 1991 г.

2. Гленсдорф П. , Пригожин И.  Термодинамическая теория структуры , устойчивости и флуктуаций. - М.: Мир, 1973 г.

3. Карери Д.  Порядок и беспорядок в структуре материи. - М.: Мир, 1995 г.

4. Курдюшов С.П. , Малинецкий Г.Г.  Синергетика - теория самоорганизации. Идеи , методы перспективы. - М.: Знание, 1983 г.

5. Николис Г. , Пригожин И.  Самоорганизация в неравновесных системах. - М.: Мир, 1979 г.

6. Николис Г. , Пригожин И.  Познание сложного. - М.: Мир, 1990 г.

7. Перовский И.Г.  Лекции по теории дифференциальных уравнений. - М.: МГУ, 1980 г.

8. Попов Д.Е.  Междисциплинарные связи и синергетика. - КГПУ, 1996 г.

9. Пригожин И.  Введение в термодинамику необратимых процессов. - М.: Иностранная литература , 1960 г.

10. Пригожин И.  От существующего к возникающему. - М.: Наука, 1985 г.

11. Синергетика , сборник статей. - М.: Мир, 1984 г.

12. Хакен Г.  Синергетика . - М.: Мир , 1980 г.

13. Хакен Г.  Синергетика . Иерархия неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах . - М.: Мир , 1985 г.

14. Шелепин Л.А.  В дали от равновесия. - М.: Знание, 1987 г.

15. Эйген М. , Шустер П.  Гиперцикл . Принципы самоорганизации макромолекул . - М.: Мир , 1982 г.

16. Эткинс П.  Порядок и беспорядок в природе. - М.: Мир , 1987 г

Страницы: 1, 2, 3