Физика: Движение

            Îïðåäåëåíèå 2. Îòîáðàæåíèå ôèãóðû, ïðè êîòîðîì êàæäîé åå òî÷êå ñîîòâåòñòâóåò òî÷êà, ñèììåòðè÷íàÿ åé îòíîñèòåëüíî äàííîé ïëîñêîñòè, íàçûâàåòñÿ îòðàæåíèåì ôèãóðû â ýòîé ïëîñêîñòè (èëè çåðêàëüíîé ñèììåòðèåé).

            Òåîðåìà 1. Îòðàæåíèå â ïëîñêîñòè ñîõðàíÿåò ðàññòîÿíèÿ è, ñòàëî áûòü, ÿâëÿåòñÿ äâèæåíèåì.

            Ñì. Äîêàçàòåëüñòâî 1.

            Òåîðåìà 2. Äâèæåíèå, ïðè êîòîðîì âñå òî÷êè íåêîòîðîé ïëîñêîñòè íåïîäâèæíû, ÿâëÿåòñÿ îòðàæåíèåì â ýòîé ïëîñêîñòè èëè òîæäåñòâåííûì îòîáðàæåíèåì.

            Çåðêàëüíàÿ ñèììåòðèÿ çàäàåòñÿ óêàçàíèåì îäíîé ïàðû ñîîòâåòñòâóþùèõ òî÷åê, íå ëåæàùèõ â ïëîñêîñòè ñèììåòðèè: ïëîñêîñòü ñèììåòðèè ïðîõîäèò ÷åðåç ñåðåäèíó îòðåçêà, ñîåäèíÿþùåãî ýòè òî÷êè, ïåðïåíäèêóëÿðíî ê íåìó.

7. Ïîâîðîò âîêðóã ïðÿìîé.

            Äëÿ áîëåå ÷åòêîãî ïðåäñòàâëåíèÿ î ïîâîðîòå âîêðóã ïðÿìîé ñëåäóåò âñïîìíèòü ïîâîðîò íà ïëîñêîñòè îêîëî äàííîé òî÷êè. Ïîâîðîòîì íà ïëîñêîñòè îêîëî äàííîé òî÷êè íàçûâàåòñÿ òàêîå äâèæåíèå, ïðè êîòîðîì êàæäûé ëó÷, èñõîäÿùèé èç äàííîé òî÷êè, ïîâîðà÷èâàåòñÿ íà îäèí è òîò æå óãîë â îäíîì è òîì æå íàïðàâëåíèè (ðèñ.6). Ïåðåéäåì òåïåðü ê ïîâîðîòó â ïðîñòðàíñòâå.

            Îïðåäåëåíèå. Ïîâîðîòîì ôèãóðû âîêðóã ïðÿìîé a íà óãîë j íàçûâàåòñÿ òàêîå îòîáðàæåíèå, ïðè êîòîðîì â êàæäîé ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé ïðÿìîé a, ïðîèñõîäèò ïîâîðîò âîêðóã òî÷êè åå ïåðåñå÷åíèÿ ñ ïðÿìîé a íà îäèí è òîò æå óãîë j â îäíîì è òîì æå íàïðàâëåíèè (ðèñ. 7). Ïðÿìàÿ a íàçûâàåòñÿ îñüþ ïîâîðîòà, à óãîë j - óãëîì ïîâîðîòà.

            Îòñþäà âèäèì, ÷òî ïîâîðîò âñåãäà çàäàåòñÿ îñüþ, óãëîì è íàïðàâëåíèåì ïîâîðîòà.

            Òåîðåìà 1. Ïîâîðîò âîêðóã ïðÿìîé ñîõðàíÿåò ðàññòîÿíèÿ, ò.å. ÿâëÿåòñÿ äâèæåíèåì.

            Ñì. Äîêàçàòåëüñòâî 2.

            Òåîðåìà 2. Åñëè äâèæåíèå ïðîñòðàíñòâà èìååò ìíîæåñòâîì ñâîèõ íåïîäâèæíûõ òî÷åê ïðÿìóþ, òî îíî ÿâëÿåòñÿ ïîâîðîòîì âîêðóã ýòîé ïðÿìîé.

7.1. Ôèãóðû âðàùåíèÿ.

            Ôèãóðà íàçûâàåòñÿ ôèãóðîé âðàùåíèÿ, åñëè ñóùåñòâóåò òàêàÿ ïðÿìàÿ, ëþáîé ïîâîðîò âîêðóã êîòîðîé ñîâìåùàåò ôèãóðó ñàìó ñ ñîáîé, äðóãèìè ñëîâàìè, îòîáðàæàåò åå ñàìó íà ñåáÿ. Òàêàÿ ïðÿìàÿ íàçûâàåòñÿ îñüþ âðàùåíèÿ ôèãóðû. Ïðîñòåéøèå òåëà âðàùåíèÿ : øàð, ïðÿìîé êðóãîâîé öèëèíäð, ïðÿìîé êðóãîâîé êîíóñ.

7.2. Îñåâàÿ ñèììåòðèÿ.

            ×àñòíûì ñëó÷àåì ïîâîðîòà âîêðóã ïðÿìîé ÿâëÿåòñÿ ïîâîðîò íà 180°. Ïðè ïîâîðîòå âîêðóã ïðÿìîé a íà 180° êàæäàÿ òî÷êà A ïåðåõîäèò â òàêóþ òî÷êó A’, ÷òî ïðÿìàÿ a ïåðïåíäèêóëÿðíà îòðåçêó AA’ è ïåðåñåêàåò åãî â ñåðåäèíå. Ïðî òàêèå òî÷êè A è A’ ãîâîðÿò, ÷òî îíè ñèììåòðè÷íû îòíîñèòåëüíî îñè a. Ïîýòîìó ïîâîðîò íà 180° âîêðóã ïðÿìîé ÿâëÿåòñÿ íàçûâàåòñÿ îñåâîé ñèììåòðèåé â ïðîñòðàíñòâå.

8.1. Íåïîäâèæíûå òî÷êè äâèæåíèé ïðîñòðàíñòâà.

            Âàæíîé õàðàêòåðèñòèêîé äâèæåíèÿ ïðîñòðàíñòâà ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâî åãî íåïîäâèæíûõ òî÷åê. Çäåñü ìîãóò ïðåäñòàâèòüñÿ ëèøü ñëåäóþùèå ïÿòü ñëó÷àåâ:

1.       Ó äâèæåíèÿ íåïîäâèæíûõ òî÷åê íåò (íåòîæäåñòâåííûé ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ).

2.       Äâèæåíèå èìååò ëèøü îäíó íåïîäâèæíóþ òî÷êó (öåíòðàëüíàÿ ñèììåòðèÿ).

3.       Ìíîæåñòâî íåïîäâèæíûõ òî÷åê äâèæåíèÿ ïðîñòðàíñòâà ÿâëÿåòñÿ ïðÿìîé (ïîâîðîò âîêðóã ïðÿìîé).

4.       Ìíîæåñòâî íåïîäâèæíûõ òî÷åê äâèæåíèÿ ïðîñòðàíñòâà ÿâëÿåòñÿ ïëîñêîñòüþ (çåðêàëüíàÿ ñèììåòðèÿ).

5.      Ìíîæåñòâî íåïîäâèæíûõ òî÷åê äâèæåíèÿ ïðîñòðàíñòâà ÿâëÿåòñÿ âñåì ïðîñòðàíñòâîì (òîæäåñòâåííîå äâèæåíèå).

            Äàííàÿ êëàññèôèêàöèÿ î÷åíü óäîáíà, òàê êàê ïðåäñòàâëÿåò âñå âèäû äâèæåíèÿ êàê åäèíóþ ñèñòåìó.

8.2. Îñíîâíûå òåîðåìû î çàäàíèè äâèæåíèé ïðîñòðàíñòâà.

            Òåîðåìà 1. Ïóñòü â ïðîñòðàíñòâå äàíû äâà ðàâíûõ òðåóãîëüíèêà ABC è A’B’C’. Òîãäà ñóùåñòâóþò äâà è òîëüêî äâà òàêèõ äâèæåíèÿ ïðîñòðàíñòâà, êîòîðûå ïåðåâîäÿò A â A’, B â B’, C â C’. Êàæäîå èç ýòèõ äâèæåíèé ïîëó÷àåòñÿ èç äðóãîãî ñ ïîìîùüþ êîìïîçèöèè åãî ñ îòðàæåíèåì â ïëîñêîñòè A’B’C’.

            Òåîðåìà 2. Ïóñòü â ïðîñòðàíñòâå çàäàíû äâà ðàâíûõ òåòðàýäðà ABCD è A’B’C’D’. Òîãäà ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå äâèæåíèå ïðîñòðàíñòâà j, òàêîå, ÷òî j (A) = A’, j (B) = B’, j (C) = C’, j (D) = D’.

            9. Äâà ðîäà äâèæåíèé.

            Ñëåäóåò òàêæå çíàòü, ÷òî âñå äâèæåíèÿ ïîäðàçäåëÿþòñÿ íà äâà ðîäà â çàâèñèìîñòè îò òîãî, íåïðåðûâíû îíè èëè íåò. Äëÿ ëó÷øåãî ïîíèìàíèÿ ñóùíîñòè ýòîãî ðàçäåëåíèÿ ââåäó ïîíÿòèå áàçèñà è åãî îðèåíòàöèè.

9.1. Áàçèñû è èõ îðèåíòàöèÿ.

            Áàçèñîì â ïðîñòðàíñòâå íàçûâàåòñÿ ëþáàÿ òðîéêà âåêòîðîâ, íåïàðàëëåëüíûõ îäíîâðåìåííî íèêàêîé ïëîñêîñòè.

            Òðîéêà áàçèñíûõ âåêòîðîâ íàçûâàåòñÿ ïðàâîé (ëåâîé), åñëè ýòè âåêòîðû, îòëîæåííûå îò îäíîé òî÷êè, ðàñïîëàãàþòñÿ òàê, êàê ðàñïîëîæåíû ñîîòâåòñòâåííî áîëüøîé, óêàçàòåëüíûé è ñðåäíèé ïàëüöû ïðàâîé (ëåâîé) ðóêè.

            Åñëè èìåþòñÿ äâå ïðàâûå (ëåâûå) òðîéêè âåêòîðîâ, ãîâîðÿò, ÷òî ýòè òðîéêè îðèåíòèðîâàíû îäèíàêîâî. Åñëè îäíà òðîéêà ÿâëÿåòñÿ ïðàâîé, à âòîðàÿ - ëåâîé, òî îíè îðèåíòèðîâàíû ïðîòèâîïîëîæíî.

9.2. Äâà ðîäà äâèæåíèÿ.

            Äâèæåíèÿ ïåðâîãî ðîäà - òàêèå äâèæåíèÿ, êîòîðûå ñîõðàíÿþò îðèåíòàöèþ áàçèñîâ íåêîåé ôèãóðû. Îíè ìîãóò áûòü ðåàëèçîâàíû íåïðåðûâíûìè äâèæåíèÿìè.

            Äâèæåíèÿ âòîðîãî ðîäà - òàêèå äâèæåíèÿ, êîòîðûå èçìåíÿþò îðèåíòàöèþ áàçèñîâ íà ïðîòèâîïîëîæíóþ. Îíè íå ìîãóò áûòü ðåàëèçîâàíû íåïðåðûâíûìè äâèæåíèÿìè.

            Ïðèìåðàìè äâèæåíèé ïåðâîãî ðîäà ÿâëÿþòñÿ ïåðåíîñ è ïîâîðîò âîêðóã ïðÿìîé, à äâèæåíèÿìè âòîðîãî ðîäà - öåíòðàëüíàÿ è çåðêàëüíàÿ ñèììåòðèè.

            Êîìïîçèöèåé ëþáîãî ÷èñëà äâèæåíèé ïåðâîãî ðîäà ÿâëÿåòñÿ äâèæåíèå ïåðâîãî ðîäà.

            Êîìïîçèöèÿ ÷åòíîãî ÷èñëà äâèæåíèé âòîðîãî ðîäà åñòü äâèæåíèå 1 ðîäà, à êîìïîçèöèÿ íå÷åòíîãî ÷èñëà äâèæåíèé 2 ðîäà - äâèæåíèå 2 ðîäà.

10. Íåêîòîðûå ðàñïðîñòðàíåííûå êîìïîçèöèè.

            Ðàññìîòðèì òåïåðü íåêîòîðûå êîìáèíàöèè äâèæåíèé, èñïîëüçóåìûå äîñòàòî÷íî ÷àñòî, íî íå óäåëÿÿ èì îñîáîãî âíèìàíèÿ.

10.1. Êîìïîçèöèè îòðàæåíèé â ïëîñêîñòè.

            Òåîðåìà 1. Äâèæåíèå ïðîñòðàíñòâà ïåðâîãî ðîäà ïðåäñòàâèìî â âèäå êîìïîçèöèè äâóõ èëè ÷åòûðåõ îòðàæåíèé â ïëîñêîñòè.

            Äâèæåíèå ïðîñòðàíñòâà âòîðîãî âèäà åñòü ëèáî îòðàæåíèå â ïëîñêîñòè, ëèáî ïðåäñòàâèìî â âèäå êîìïîçèöèè òðåõ îòðàæåíèé â ïëîñêîñòè.

            Îòñþäà ìû ìîæåì îáúÿñíèòü óæå èçâåñòíûå íàì äâèæåíèÿ òàê:

·         Êîìïîçèöèÿ îòðàæåíèÿ â 2 ïàðàëëåëüíûõ ïëîñêîñòÿõ åñòü ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ.

·         Êîìïîçèöèÿ îòðàæåíèÿ â 2 ïåðåñåêàþùèõñÿ ïëîñêîñòÿõ åñòü ïîâîðîò âîêðóã ïðÿìîé ïåðåñå÷åíèÿ ýòèõ ïëîñêîñòåé.

·         Öåíòðàëüíàÿ ñèììåòðèÿ îòíîñèòåëüíî äàííîé òî÷êè ÿâëÿåòñÿ êîìïîçèöèåé 3 îòðàæåíèé îòíîñèòåëüíî ëþáûõ 3 âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûõ ïëîñêîñòåé, ïåðåñåêàþùèõñÿ â ýòîé òî÷êå.

10.2. Âèíòîâûå äâèæåíèÿ.

            Îïðåäåëåíèå. Âèíòîâûì äâèæåíèåì íàçûâàåòñÿ êîìïîçèöèÿ ïîâîðîòà è ïåðåíîñà íà âåêòîð, ïàðàëëåëüíûé îñè ïîâîðîòà. Ïðåäñòàâëåíèå î òàêîì äâèæåíèè äàåò ââèí÷èâàþùèéñÿ èëè âûâèí÷èâàþùèéñÿ âèíò.

            Òåîðåìà 2. Ëþáîå äâèæåíèå ïðîñòðàíñòâà ïåðâîãî ðîäà - âèíòîâîå äâèæåíèå (â ÷àñòíîñòè ïîâîðîò âîêðóã ïðÿìîé èëè ïåðåíîñ).

10.3. Çåðêàëüíûé ïîâîðîò.

            Îïðåäåëåíèå. Çåðêàëüíûì ïîâîðîòîì âîêðóã îñè a íà óãîë j íàçûâàåòñÿ êîìïîçèöèÿ ïîâîðîòà âîêðóã îñè a íà óãîë j è îòðàæåíèÿ â ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé îñè ïîâîðîòà.

            Òåîðåìà 3. Ëþáîå äâèæåíèå ïðîñòðàíñòâà âòîðîãî ðîäà, èìåþùåå íåïîäâèæíóþ òî÷êó, ÿâëÿåòñÿ çåðêàëüíûì ïîâîðîòîì, êîòîðûé, â ÷àñòíîñòè, ìîæåò áûòü öåíòðàëüíîé èëè çåðêàëüíîé ñèììåòðèåé.

10.4. Ñêîëüçÿùèå îòðàæåíèÿ.

            Îïðåäåëåíèå. Ñêîëüçÿùèì îòðàæåíèåì íàçûâàåòñÿ êîìïîçèöèÿ îòðàæåíèÿ â íåêîåé ïëîñêîñòè è ïåðåíîñà íà âåêòîð, ïàðàëëåëüíûé ýòîé ïëîñêîñòè.

            Òåîðåìà 4. Äâèæåíèå ïðîñòðàíñòâà âòîðîãî ðîäà, íå èìåþùåå íåïîäâèæíûõ òî÷åê, åñòü ñêîëüçÿùåå îòðàæåíèå.

            Òåîðåìà Øàëÿ. Äâèæåíèå ïëîñêîñòè ïåðâîãî ðîäà ÿâëÿåòñÿ ëèáî ïîâîðîòîì, ëèáî ïàðàëëåëüíûì ïåðåíîñîì.

            Äâèæåíèå ïëîñêîñòè âòîðîãî ðîäà ÿâëÿåòñÿ ñêîëüçÿùèì îòðàæåíèåì.

Ïðèìå÷àíèå: Ê ðåôåðàòó ïðèëàãàþòñÿ 7 ðèñóíêîâ, 2 ïèñüìåííûõ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåì è ðåøåíèÿ çàäà÷.

ÑÏÀÑÈÁÎ ÇÀ ÂÍÈÌÀÍÈÅ !

Ðåôåðàò ñîñòàâëåí è íàïå÷àòàí Íèêîëàåì Àëåêñååíêî â ðåäàêòîðå Word for Windows 6.0.

Страницы: 1, 2, 3