О взаимосвязи философии и математики

О взаимосвязи философии и математики

смотреть на рефераты похожие на "О взаимосвязи философии и математики"

Министерство высшего и профессионального образования РФ

Брянский государственный педагогический университет имени акад. И.Г. Петровского

КАФЕДРА ФИЛОСОФИИ

РЕФЕРАТ по философии

О ВЗАИМОСВЯЗИ ФИЛОСОФИИ И МАТЕМАТИКИ

Соискатель кафедры педагогики БГПУ имени академика И.Г. Петровского xxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxx

Брянск 1998

Оглавление

1.Введение______________________________________________3

2.Милетская школа________________________________________6

3. Пифагорейская школа_________________________________11

3. Элейская школа______________________________________16

4. Демокрит____________________________________________19

5. Платоновский идеализм_______________________________24

6. Система философии математики Аристотеля_____________29

7. Список использованной литературы____________________36

ВВЕДЕНИЕ

Вопрос о взаимосвязи математики и философии впервые был задан довольно давно. Аристотель, Бэкон, Леонардо да Винчи - многие великие умы человечества занимались этим вопросом и достигали выдающихся результатов.
Это не удивительно: ведь основу взаимодействия философии с какой-либо из наук составляет потребность использования аппарата философии для проведения исследований в данной области; математика же, несомненно, более всего, среди точных наук поддается философскому анализу (в силу своей абстрактности). Наряду с этим прогрессирующая математизация науки оказывает активное воздействие на философское мышление.

Совместный путь математики и философии начался в Древней Греции около
VI века до н.э. Не стесненное рамками деспотизма, греческое общество той поры было подобно питательному раствору, на котором выросло многое, что дошло до нас в сильно измененном временем виде, однако, сохранив основную, заложенную греками идею: театр, поэзия, драматургия, математика, философия.
В этой работе я попыталась проследить за процессом формирования, развития и взаимного влияния математики и философии Древней Греции, а также привести различные точки зрения на движущие силы и результаты этого процесса.

Известно, что греческая цивилизация на начальном этапе своего развития отталкивалась от цивилизации древнего Востока. Каково же было математическое наследие, полученное греками?

Из дошедших до нас математических документов можно заключить, что в
Древнем Египте были сильно развиты отрасли математики, связанные с решением экономических задач. Папирус Райнда (ок. 2000 г. до н.э.) начинался с обещания научить «совершенному и основательному исследованию всех вещей, пониманию их сущностей, познанию всех тайн»[1]. Фактически излагается искусство вычисления с целыми числами и дробями, в которое посвящались государственные чиновники для того, чтобы уметь решать широкий круг практических задач, таких, как распределение заработной платы между известным числом рабочих, вычисление количества зерна для приготовления определенного количества хлеба, вычисление поверхностей и объемов и т.д.
Дальше уравнений первой степени и простейших квадратных уравнений египтяне, по-видимому, не пошли. Все содержание известной нам египетской математики убедительно свидетельствует, что математические знания египтян предназначались для удовлетворения конкретных потребностей материального производства и не могли сколько-нибудь серьезно быть связанными с философией.

Математика Вавилона, как и египетская, была вызвана к жизни потребностями производственной деятельности, поскольку решались задачи, связанные с нуждами орошения, строительства, хозяйственного учета, отношениями собственности, исчислением времени. Сохранившиеся документы показывают, что, основываясь на 60-ричной системе счисления, вавилоняне могли выполнять четыре арифметических действия, имелись таблицы квадратных корней, кубов и кубических корней, сумм квадратов и кубов, степеней данного числа, были известны правила суммирования прогрессий. Замечательные результаты были получены в области числовой алгебры. Хотя вавилоняне и не знали алгебраической символики, но решение задач проводилось по плану, задачи сводились к единому «нормальному» виду и затем решались по общим правилам, причем истолкование преобразований «уравнения» не связывалось с конкретной природой исходных данных. Встречались задачи, сводящиеся к решению уравнений третьей степени и особых видов уравнений четвертой, пятой и шестой степеней.

Если же сравнивать математические науки Египта и Вавилона по способу мышления, то нетрудно будет установить их общность по таким характеристикам, как авторитарность, некритичность, следование за традицией, крайне медленная эволюция знаний. Эти же черты обнаруживаются и в философии, мифологии, религии Востока. Как писал по этому поводу Э.
Кольман, «в этом месте, где воля деспота считалась законом, не было места для мышления, доискивающегося до причин и обоснований явлений, ни тем более для свободного обсуждения»[2].

Анализ древнегреческой математики и философии следует начать с милетской математической школы, заложившей основы математики как доказательной науки.

Милетская школа

Милетская школа - одна из первых древнегреческих математических школ, оказавшая существенное влияние на развитие философских представлений того времени. Она существовала в Ионии в конце V - IV вв. до н.э.; основными деятелями ее являлись Фалес (ок. 624-547 гг. до н.э.), Анаксимандр (ок. 610-
546 гг. до н.э.) и Анаксимен (ок. 585-525 гг. до н.э.). Рассмотрим на примере милетской школы основные отличия греческой науки от догреческой и проанализируем их.

Если сопоставить исходные математические знания греков с достижениями египтян и вавилонян, то вряд ли можно сомневаться в том, что такие элементарные положения, как равенство углов у основания равнобедренного треугольника, открытие которого приписывают Фалесу Милетскому, не были известны древней математике. Тем не менее, греческая математика уже в исходном своем пункте имела качественное отличие от своих предшественников.

Ее своеобразие заключается прежде всего в попытке систематически использовать идею доказательства. Фалес стремится доказать то, что эмпирически было получено и без должного обоснования использовалось в египетской и вавилонской математике. Возможно, в период наиболее интенсивного развития духовной жизни Вавилона и Египта, в период формирования основ их знаний, изложение тех или иных математических положений сопровождалось обоснованием в той или иной форме. Однако, как пишет Ван дер Варден, «во времена Фалеса египетская и вавилонская математика давно уже были мертвыми знаниями. Можно было показать Фалесу, как надо вычислять, но уже неизвестен был ход рассуждений, лежащих в основе этих правил»[3].

Греки вводят процесс обоснования как необходимый компонент математической действительности - доказательность, которая действительно являлась отличительной чертой их математики. Техникой доказательства ранней греческой математики как в геометрии, так и в арифметике, первоначально являлась простая попытка придания наглядности. Конкретными разновидностями такого доказательства в арифметике было доказательство при помощи камешков, в геометрии - путем наложения. Но сам факт наличия доказательства говорит о том, что математические знания воспринимаются не догматически, а в процессе размышления. Это, в свою очередь, обнаруживает критический склад ума, уверенность (может быть, не всегда осознанную), что размышлением можно установить правильность или ложность рассматриваемого положения, уверенность в силе человеческого разума.

Греки в течении одного-двух столетий сумели овладеть математическим наследием предшественников, накопленного в течении тысячелетий, что свидетельствует об интенсивности, динамизме их математического познания.
Качественное отличие исследований Фалеса и его последователей от догреческой математики проявляется не столько в конкретном содержании исследованной зависимости, сколько в новом способе математического мышления. Исходный материал греки взяли у предшественников, но способ усвоения и использования этого материала был новый. Отличительными особенностями их математического познания являются рационализм, критицизм, динамизм.

Эти же черты характерны и для философских исследований милетской школы. Философская концепция и совокупность математических положений формируется посредством однородного по своим общим характеристикам мыслительного процесса, качественно отличного от мышления предшествующей эпохи. Как же сформировался этот новый способ восприятия действительности?
Откуда берет свое начало стремление к научному знанию?

Ряд исследователей объявляет отмеченные выше характеристики мыслительного процесса «врожденными особенностями греческого духа»[4].
Однако эта ссылка ничего не объясняет, так как непонятно, почему тот же
«греческий дух» по прошествии эпохи эллинизма теряет свои качества. Можно попробовать поискать причины такого миропонимания в социально-экономической сфере.

Иония, где проходила деятельность милетской школы, была достаточно развитой в экономическом отношении областью. Поэтому именно она прежде прочих вступила на путь низвержения первобытно-общинного строя и формирования рабовладельческих отношений. В VIII-VI вв. до н.э. земля все больше сосредотачивалась в руках крупной родовой знати. Развитие ремесленного производства и торговли еще в большей мере ускоряло процесс социально-имущественного расслоения. Отношения между аристократией и демосом становятся напряженными; со временем эта напряженность перерастает в открытую борьбу за власть. Калейдоскоп событий во внутренней жизни, не менее изменчивая внешняя обстановка формируют динамизм, живость общественной мысли.

Напряженность в политической и экономической сферах приводит к столкновениям в области религии, поскольку демос , еще не сомневаясь в том, что религиозные и светские установления вечны, так как даны богами, требует, чтобы они были записаны и стали общедоступными, ибо правители искажают божественную волю и толкуют ее по-своему. Однако нетрудно понять, что систематическое изложение религиозных и мифологических представлений
(попытка такого изложения была дана Гесиодом) не могло не нанести серьезного удара религии. При проверке религиозных измышлений логикой первые, несомненно, показались бы конгломератом нелепостей.

«Таким образом, материалистическое мировоззрение Фалеса и его последователей не является каким-то загадочным, не от мира сего порождением
«греческого духа». Оно является продуктом вполне определенных социально- экономических условий и выражает интересы исторически-конкретных социальных сил, прежде всего торгово-ремесленных слоев общества»[5] - пишет О. И.
Кедровский.

На основании всего вышеперечисленного еще нельзя с большой уверенностью утверждать, что именно воздействие мировоззрения явилось решающим фактором для возникновения доказательства; не исключено ведь, что это произошло в силу других причин: потребностей производства, запросов элементов естествознания, субъективных побуждений исследователей. Однако можно убедиться, что каждая из этих причин не изменила принципиально своего характера по сравнению с догреческой эпохой, непосредственно не приводящей к превращению математики в доказательную науку. Например, для удовлетворения потребностей техники было вполне достаточно практической науки древнего Востока, в справедливости положений которой можно было убедиться эмпирически. Сам процесс выявления этих положений показал, что они дают достаточную для практических нужд точность.

Можно считать одним из побудительных мотивов возникновения доказательства необходимость осмысления и обобщения результатов предшественников. Однако и этому фактору не принадлежит решающая роль, так как, например, существуют теории, воспринимаемые нами как очевидные, но получившие строгое обоснование в античной математике (например, теория делимости на 2).

Появление потребности доказательства в греческой математике получает удовлетворительное объяснение, если учесть взаимодействие мировоззрения на развитие математики. В этом отношении греки существенно отличаются от своих предшественников. В их философских и математических исследованиях проявляются вера в силу человеческого разума, критическое отношение к достижениям предшественников, динамизм мышления. У греков влияние мировоззрения превратилось из сдерживающего фактора математического познания в стимулирующий, в действенную силу прогресса математики.

В том, что обоснование приняло именно форму доказательства, а не остановилось на эмпирической проверке, решающим является появление новой, мировоззренческой функции науки. Фалес и его последователи воспринимают математические достижения предшественников прежде всего для удовлетворения технических потребностей, но наука для них - нечто большее, чем аппарат для решения производственных задач. Отдельные, наиболее абстрактные элементы математики вплетаются в натурфилософскую систему и здесь выполняют роль антипода мифологическим и религиозным верованиям. Эмпирическая подтверждаемость для элементов философской системы была недостаточной в силу общности их характера и скудности подтверждающих их фактов.
Математические знания же к тому времени достигли такого уровня развития, что между отдельными положениями можно было установить логические связи.
Такая форма обоснований оказалась объективно приемлемой для математических положений.

ПИФАГОРЕЙСКАЯ ШКОЛА

На основании данного выше исследования милетской школы можно лишь убедиться в активном влиянии мировоззрения на процесс математического познания только при радикальном изменении социально-экономических условий жизни общества. Однако остаются открытыми вопросы о том, влияет ли изменение философской основы жизни общества на развитие математики, зависит ли математическое познание от изменения идеологической направленности мировоззрения, имеет ли место обратное воздействие математических знаний на философские идеи. Можно попытаться ответить на поставленные вопросы, обратившись к деятельности пифагорейской школы.

Пифагореизм как направление духовной жизни существовал на протяжении всей истории Древней Греции, начиная с VI века до н. э. и прошел в своем развитии ряд этапов. Вопрос о их временной длительности сложен и до сих пор не решен однозначно. Основоположником школы был Пифагор Самосский (ок. 580-
500 до н.э.). Ни одна строка, написанная Пифагором, не сохранилась; вообще неизвестно, прибегал ли он к письменной передаче своих мыслей. Что было сделано самим Пифагором, а что его учениками, установить очень трудно.
Свидетельства о нем древнегреческих авторов противоречивы; в какой-то мере различные оценки его деятельности отражают многообразие его учения.

В пифагореизме выделяют две составляющие: практическую («пифагорейский образ жизни») и теоретическую (определенная совокупность учений). В религиозном учении пифагорейцев наиболее важной считалась обрядовая сторона, затем имелось в виду создать определенное душевное состояние и лишь потом по значимости шли верования, в трактовке которых допускались разные варианты. По сравнению с другими религиозными течениями, у пифагорейцев были специфические представления о природе и судьбе души. Душа
- существо божественное, она заключена в тело в наказание за прегрешения. высшая цель жизни - освободить душу из телесной темницы, не допустить в другое тело, которое якобы совершается после смерти. Путем для достижения этой цели является выполнение определенного морального кодекса,
«пифагорейского образа жизни».[6] В многочисленной системе предписаний, регламентировавших почти каждый шаг жизни, видное место отводилось занятиям музыкой и научным исследованиям.

Теоретическая сторона пифагореизма тесно связана с практической. В теоретических изысканиях пифагорейцы видели лучшее средство освобождения души из круга рождений, а их результаты стремились использовать для рационального обоснования предполагаемой доктрины. Вероятно, в деятельности
Пифагора и его ближайших учеников научные положения были перемешаны с мистикой, религиозными и мифологическими представлениями. Вся эта
«мудрость» излагалась в качестве изречений оракула, которым придавался скрытый смысл божественного откровения.

Основными объектами научного познания у пифагорейцев были математические объекты, в первую очередь числа натурального ряда (вспомним знаменитое «Число есть сущность всех вещей»[7]). Видное место отводилось изучению связей между четными и нечетными числами. В области геометрических знаний внимание акцентируется на наиболее абстрактных зависимостях.
Пифагорейцами была построена значительная часть планиметрии прямоугольных фигур; высшим достижением в этом направлении было доказательство теоремы
Пифагора, частные случаи которой за 1200 лет до этого приводятся в клинописных текстах вавилонян. Греки доказывают ее общим образом. Некоторые источники приписывают пифагорейцам даже такие выдающиеся результаты, как построение пяти правильных многогранников.

Числа у пифагорейцев выступают основополагающими универсальными объектами, к которым предполагалось свести не только математические построения, но и все многообразие действительности. Физические, этические, социальные и религиозные понятия получили математическую окраску. Науке о числах и других математических объектах отводится основополагающее место в системе мировоззрения, то есть фактически математика объявляется философией. Как писал Аристотель, «...у чисел они усматривали, казалось бы, много сходных черт с тем, что существует и происходит, - больше, чем у огня, земли и воды... У них, по-видимому, число принимается за начало и в качестве материи для вещей, и в качестве выражения для их состояний и свойств... Например, такое-то свойство чисел есть справедливость, а такое- то - душа и ум, другое - удача, и можно сказать - в каждом из остальных случаев точно также»[8].

Если сравнивать математические исследования ранней пифагорейской и милетской школ, то можно выявить ряд существенных различий. Так, математические объекты рассматривались пифагорейцами как первосущность мира, то есть радикально изменилось само понимание природы математических объектов. Кроме того, математика превращена пифагорейцами в составляющую религии, в средство очищения души, достижения бессмертия. И наконец, пифагорейцы ограничивают область математических объектов наиболее абстрактными типами элементов и сознательно игнорируют приложения математики для решения производственных задач. Но чем же обусловлены такие глобальные расхождения в понимании природы математических объектов у школ, существовавших практически в одно и то же время и черпавших свою мудрость, по-видимому, из одного и того же источника - культуры Востока? Впрочем,
Пифагор, скорее всего, пользовался достижениями милетской школы, так как у него, как и у Фалеса, обнаруживаются основные признаки умственной деятельности, отличающиеся от догреческой эпохи; однако математическая деятельность этих школ носила существенно различный характер.

Аристотель был одним из первых, кто попытался объяснить причины появления пифагорейской концепции математики. Он видел их в пределах самой математики: «Так называемые пифагорейцы, занявшись математическими науками, впервые двинули их вперед и, воспитавшись на них, стали считать их началами всех вещей»[9]. Подобна точка зрения не лишена основания хотя бы в силу применимости математических положений для выражения отношений между различными явлениями. На этом основании можно, неправомерно расширив данный момент математического познания, прийти к утверждению о выразимости всего сущего с помощью математических зависимостей, а если считать числовые отношения универсальными, то «число есть сущность всех вещей»[10]. Кроме того, ко времени деятельности пифагорейцев математика прошла длинный путь исторического развития; процесс формирования ее основных положений терялся во мраке веков. Таким образом, появлялось искушение пренебречь им и объявить математические объекты чем-то первичным по отношению к существующему миру. Именно так и поступили пифагорейцы.

В советской философской науке проблема появления пифагорейской концепции математики рассматривалась, естественно, с позиций марксистско- ленинской философии. Так, О.И. Кедровский пишет: «...Выработанная им
(Пифагором) концепция объективно оказалась идеологией вполне определенных социальных слоев общества. Это были ...представители аристократии, теснимые демосом... Для них характерно стремление уйти от тягот земной жизни, обращение к религии и мистике»[11]. Эта точка зрения, как и первая, не лишена смысла; истина же, вероятно, находится где-то посередине. Однако, на мой взгляд, крах пифагорейского учения следует связывать, в первую очередь, не с вырождением аристократии как класса, а с попыткой пифагорейцев извратить саму природу процесса математического познания, лишив математику таких важных источников прогресса, как приложения к производству, открытое обсуждение результатов исследований, коллективное творчество, удержать прогресс математики в рамках рафинированного учения для посвященных.
Кстати, сами пифагорейцы подорвали свой основополагающий принцип «число есть сущность всех вещей», открыв, что отношение диагонали и стороны квадрата не выражается посредством целых чисел.

Таким образом, уже в исходном пункте своего развития теоретическая математика была подвержена влиянию борьбы двух типов мировоззрения - материалистического и религиозно-идеалистического. Мы же убедились, что наряду с влиянием мировоззрения на развитие математического познания, имеет место и обратное воздействие.

ЭЛЕЙСКАЯ ШКОЛА

Элейская школа довольно интересна для исследования, так как это одна из древнейших школ, в трудах которой математика и философия достаточно тесно и разносторонне взаимодействуют. Основными представителями элейской школы считают Парменида (конец VI - V в. до н.э.) и Зенона (первая половина
V в. до н.э.).

Философия Парменида заключается в следующем: всевозможные системы миропонимания базируются на одной из трех посылок: 1) есть только бытие, небытия нет; 2) существует не только бытие, но и небытие; 3) бытие и небытие тождественны. Истинный Парменид признает только первую посылку.
Согласно ему, бытие едино, неделимо, неизменяемо, вневременно, закончено в себе, только оно истинно сущее; множественность, изменчивость, прерывность, текучесть - все это удел мнимого.

С защитой учения Парменида от возражений выступил его ученик Зенон.
Древние приписывали ему сорок доказательств для защиты учения о единстве сущего (против множественности вещей) и пять доказательств его неподвижности (против движения). Из них до нас дошло всего девять.
Наибольшей известностью во все времена пользовались зеноновы доказательства против движения; например, «движения не существует на том основании, что перемещающееся тело должно прежде дойти до половины, чем до конца, а чтобы дойти до половины, нужно пройти половину этой половины и т.д.»[12].

Аргументы Зенона приводят к парадоксальным, с точки зрения «здравого смысла», выводам, но их нельзя было просто отбросить как несостоятельные, поскольку и по форме, и по содержанию удовлетворяли математическим стандартам той поры. Разложив апории Зенона на составные части и двигаясь от заключений к посылкам, можно реконструировать исходные положения, которые он взял за основу своей концепции. Важно отметить, что в концепции элеатов, как и в дозеноновской науке, фундаментальные философские представления существенно опирались на математические принципы. Видное место среди них занимали следующие аксиомы:

1. Сумма бесконечно большого числа любых, хотя бы и бесконечно малых, но протяженных величин должна быть бесконечно большой;

2. Сумма любого, хотя бы и бесконечно большого числа непротяженных величин всегда равна нулю и никогда не может стать некоторой заранее заданной протяженной величиной.

Именно в силу тесной взаимосвязи общих философских представлений с фундаментальными математическими положениями удар, нанесенный Зеноном по философским воззрениям, существенно затронул систему математических знаний.
Целый ряд важнейших математических построений, считавшихся до этого несомненно истинными, в свете зеноновских построений выглядели как противоречивые. Рассуждения Зенона привели к необходимости переосмыслить такие важные методологические вопросы, как природа бесконечности, соотношение между непрерывным и прерывным и т.п. Они обратили внимание математиков на непрочность фундамента их научной деятельности и таким образом оказали стимулирующее воздействие на прогресс этой науки.

Страницы: 1, 2