Развитие и взаимное влияние математики, философии и искусства

истинности всех последующих построений. Платон считал такое сомнение

необоснованным. Согласно его объяснению, хотя сами математические науки,

“пользуясь предположениями, оставляют их в неподвижности и не могут дать

для них основания”, предположения находят основания посредством

диалектики. Платон высказал и ряд других положений, оказавшихся

плодотворными для развития математики. Так, в диалоге “Пир” выдвигается

понятие предела; идея выступает здесь как предел становления вещи.

Критика, которой подвергались методология и мировоззренческая система

Платона со стороны математиков, при всей своей важности не затрагивала

сами основы идеалистической концепции. Для замены разработанной Платоном

методологии математики более продуктивной системой нужно было подвергнуть

критическому разбору его учение об идеях, основные разделы его философии и

как следствие этого - его воззрение на математику. Эта миссия выпала на

долю ученика Платона - Аристотеля.

Глава 7

СИСТЕМА ФИЛОСОФИИ МАТЕМАТИКИ АРИСТОТЕЛЯ

К.Маркс назвал Аристотеля (384-322 гг. до н.э.) “величайшим философом

древности”. Основные вопросы философии, логики, психологии,

естествознания, техники, политики, этики и эстетики, поставленные в науке

Древней Греции, получили у Аристотеля полное и всестороннее освещение. В

математике он, по-видимому, не проводил конкретных исследований, однако

важнейшие стороны математического познания были подвергнуты им глубокому

философскому анализу, послужившему методологической основой деятельности

многих поколений математиков.

Ко времени Аристотеля теоретическая математика прошла значительный

путь и достигла высокого уровня развития. Продолжая традицию философского

анализа математического познания, Аристотель поставил вопрос о

необходимости упорядочивания самого знания о способах усвоения науки, о

целенаправленной разработке искусства ведения познавательной деятельности,

включающего два основных раздела: “образованность” и “научное знание дела”.

Среди известных сочинений Аристотеля нет специально посвященных изложению

методологических проблем математики. Но по отдельным высказываниям, по

использованию математического материала в качестве иллюстраций общих

методологических положений можно составить представление о том, каков был

его идеал построения системы математических знаний.

Исходным этапом познавательной деятельности, согласно Аристотелю,

является обучение, которое “основано на (некотором) уже ранее имеющемся

знании... Как математические науки, так и каждое из прочих искусств

приобретается (именно) таким способом”. Для отделения знания от незнания

Аристотель предлагает проанализировать “все те мнения, которые по-своему

высказывали в этой области некоторые мыслители” и обдумать возникшие при

этом затруднения. Анализ следует проводить с целью выяснения четырех

вопросов: “что (вещь) есть, почему (она) есть, есть ли (она) и что (она)

есть”.

Основным принципом, определяющим всю структуру “научного знания дела”,

является принцип сведения всего к началам и воспроизведения всего из

начал. Универсальным процессом производства знаний из начал, согласно

Аристотелю, выступает доказательство. “Доказательством же я называю

силлогизм, - пишет он, - который дает знания”. Изложению теории

доказательного знания полностью посвящен “Органон” Аристотеля. Основные

положения этой теории можно сгруппировать в разделы, каждый из которых

раскрывает одну из трех основных сторон математики как доказывающей науки:

“то, относительно чего доказывается, то, что доказывается и то, на

основании чего доказывается”. Таким образом, Аристотель дифференцированно

подходил к объекту, предмету и средствам доказательства.

Существование математических объектов признавалось задолго до

Аристотеля, однако пифагорейцы, например, предполагали, что они находятся

в чувственных вещах, платоники же, наоборот, считали их существующими

отдельно. Согласно Аристотелю:

1. В чувственных вещах математические объекты не существуют, так как

“находиться в том же самом месте два тела не в состоянии”;

2. “Невозможно и то, чтобы такие реальности существовали обособленно”.

Аристотель считал предметом математики “количественную определенность

и непрерывность”. В его трактовке “количеством называется то, что может

быть разделено на составные части, каждая из которых ...является чем-то

одним, данным налицо. То или другое количество есть множество, если его

можно счесть, это величина, если его можно измерить”. Множеством при

этом называется то, “что в возможности (потенциально) делится на части не

непрерывные, величиною то, что делится на части непрерывные”. Прежде

чем дать определение непрерывности, Аристотель рассматривает понятие

бесконечного, так как “оно относится к категории количества” и проявляется

прежде всего в непрерывном. “Что бесконечное существует, уверенность в

этом возникает у исследователей из пяти оснований: из времени (ибо оно

бесконечно); из разделения величин..; далее, только таким образом не

иссякнут возникновение и уничтожение, если будет бесконечное, откуда

берется возникающее.

Далее, из того, что конечное всегда граничит с чем-нибудь, так как

необходимо, чтобы одно всегда граничило с другим. Но больше всего -...на

том основании, что мышление не останавливается: и число кажется

бесконечным, и математические величины”. Существует ли бесконечное как

отдельная сущность или оно является акциденцией величины или множества?

Аристотель принимает второй вариант, так как “если бесконечное не есть ни

величина, ни множество, а само является сущностью..., то оно будет

неделимо, так как делимое будет или величиной, или множеством. Если же

оно не делимо, оно не бесконечно в смысле непроходимого до конца”.

Невозможность математического бесконечного как неделимого следует из того,

что математический объект - отвлечение от физического тела, а “актуально

неделимое бесконечное тело не существует”. Число “как что-то отдельное и в

то же время бесконечное” не существует, ведь “...если возможно

пересчитать счислимое, то будет возможность пройти до конца и

бесконечное”. Таким образом, бесконечность здесь в потенции существует,

актуально же - нет.

Опираясь на изложенное выше понимание бесконечного, Аристотель

определяет непрерывность и прерывность. Так, “непрерывное есть само по

себе нечто смежное. Смежное есть то, что, следуя за другим, касается его”.

Число как типично прерывное (дискретное) образование формируется

соединением дискретных, далее неделимых элементов - единиц. Геометрическим

аналогом единицы является точка; при этом соединение точек не может

образовать линию, так как “точкам, из которых было бы составлено

непрерывное, необходимо или быть непрерывными, или касаться друг друга”.

Но непрерывными они не будут: “ведь края точек не образуют чего-нибудь

единого, так как у неделимого нет ни края, ни другой части”. Точки не

могут и касаться друг друга, поскольку касаются “все предметы или как

целое целого, или своими частями, или как целое части. Но так как неделимое

не имеет частей, им необходимо касаться целиком, но касающееся целиком не

образует непрерывного”.

Невозможность составления непрерывного из неделимых и небходимость его

деления на всегда делимые части, установленные для величины, Аристотель

распространяет на движение, пространство и время, обосновывая

(например, в “Физике”) правомерность этого шага. С другой стороны, он

приходит к выводу, что признание неделимых величин противоречит основным

свойствам движения. Выделение непрерывного и прерывного как разных родов

бытия послужило основой для размежевания в логико-гносеологической области,

для резкого отмежевания арифметики от геометрии.

“Началами... в каждом роде я называю то, относительно чего не может

быть доказано, что оно есть. Следовательно, то, что обозначает первичное и

из него вытекающее, принимается. Существование начал необходимо принять,

другое - следует доказать. Например, что такое единица или что такое

прямое или что такое треугольник (следует принять); что единица и величина

существует, также следует принять, другое - доказать”. В вопросе о

появлении у людей способности познания начал Аристотель не соглашается с

точкой зрения Платона о врожденности таких способностей, но и не

допускает возможности приобретения их; здесь он предлагает следующее

решение: “необходимо обладать некоторой возможностью, однако не такой,

которая превосходила бы эти способности в отношении точности”. Но такая

возможность, очевидно, присуща всем живым существам; в самом деле, они

обладают прирожденной способностью разбираться, которая называется

чувственным восприятием. Формирование начал идет “от предшествующего и

более известного для нас”, то есть от того, что ближе к чувственному

восприятию к “предшествующему и более известному безусловно” (таким

является общее). Аристотель дает развернутую классификацию начал, исходя из

разных признаков.

Во-первых, он выделяет “начала, из которых (что-либо) доказывается, и

такие, о которых (доказывается)”. Первые “суть общие (всем начала)”,

вторые - “свойственные (лишь данной науке), например, число, величина”. В

системе начал общие занимают ведущее место, но их недостаточно, так как

“среди общих начал не может быть таких, из которых можно было бы доказать

все”. Этим и объясняется, что среди начал должны быть “одни свойственны

каждой науке в отдельности, другие - общие всем”. Во-вторых, начала делятся

на две группы в зависимости от того, что они раскрывают: существование

объекта или наличие у него некоторых свойств. В-третьих, комплекс начал

доказывающей науки делится на аксиомы, предположения, постулаты, исходные

определения.

Выбор начал у Аристотеля выступает определяющим моментом построения

доказывающей науки; именно начала характеризуют науку как данную,

выделяют ее из ряда других наук. “То, что доказывается”, можно

трактовать очень широко. С одной стороны, это элементарный доказывающий

силлогизм и его заключения. Из этих элементарных процессов строится здание

доказывающей науки в виде отдельно взятой теории. Из них же создается и

наука как система теорий. Однако не всякий набор доказательств образует

теорию. Для этого он должен удовлетворять определенным требованиям,

охватывающим как содержание доказываемых предложений, так и связи между

ними. В пределах же научной теории необходимо имеет место ряд

вспомогательных определений, которые не являются первичными, но служат для

раскрытия предмета теории.

Хотя вопросы методологии математического познания и не были изложены

Аристотелем в какой-то отдельной работе, но по содержанию в совокупности

они образуют полную систему. В основе философии математики Аристотеля

лежит понимание математических знаний как отражения объективного мира. Эта

установка сыграла важную роль в борьбе Аристотеля с платоновым идеализмом;

ведь “если в явлениях чувственного мира не находится вовсе математическое,

то каким образом возможно, что к ним прилагаются его свойства?” - писал

он. Разумеется, материализм Аристотеля был непоследовательным, в целом

его воззрения в большей степени соответствовали потребностям

математического познания, сем взгляды Платона. В свою очередь математика

была для Аристотеля одним из источников формирования ряда разделов его

философской системы.

ЧАСТЬ ВТОРАЯ.

БЕСКОНЕЧНАЯ ГАРМОНИЯ ПОДОБИЯ

Глава 1

БЕССИЛИЕ ПРЯМОЙ

В качестве введения ко второй части мне бы хотелось привести слова

Фриденсрайха Хундертвассера, одного из тех замечательных людей силами

которых современная наука становится все ближе к искусству, а искусство

получает возможность использовать весь арсенал средств, предоставляемых

сегодняшней наукой для выражения идей и художественных замыслов:

В 1953 году я понял, что прямая линия ведет человечество к упадку.

Тирания прямой стала абсолютной. Прямая линия - это нечто трусливое,

прочерченное по линейке, без эмоций и размышлений; это линия, не

существующая в природе. И на этом насквозь прогнившем фундаменте

построена наша обреченная цивилизация. Если даже и возникает где-то мысль,

что прямая линия напрямик ведет к гибели, ее курсу все равно продолжают

следовать дальше... Любой дизайн, основанный на прямой линии, будет

мертворожденным. Сегодня мы являемся свидетелями триумфа рационалистических

знаний и одновременно обнаруживаем, что оказались в пустоте. Эстетический

вакуум, пустыня однообразия, преступное бесплодие, утрата созидательных

возможностей.

Стандартизируется даже творчество. Мы стали бессильными. Мы больше не

способны творить. В этом наше невежество.

Фракталы вокруг нас повсюду, и в очертаниях гор, и в извилистой линии

морского берега. Некоторые из фракталов непрерывно меняются, подобно

движущимся облакам или мерцающему пламени, в то время как другие, подобно

деревьям или нашим сосудистым системам, сохраняют структуру,

приобретенную в процессе эволюции. Человеку, не связанному с наукой, может

показаться странным то, что такие привычные всем вещи с недавних пор

оказались в фокусе интенсивных научных исследований. Но привычность какого-

либо явления совсем не означает, что ученые могут правильно его объяснить.

Ребенку тоже привычны и его голубая колыбель, и голубое небо задолго до

того, как он осознает, что голубой цвет есть общее качество совсем разных

вещей. В его познавательном развитии наступит момент, когда он уже сможет

воспринять понятие цвета; он слышит, что небо является голубым и вдруг

“открывает”, что и некоторые другие вещи тоже являются голубыми.

Развитие нашего научного понимания мира происходит по такой же схеме.

Да, многие фракталы нам знакомы, но до самого последнего времени в нашем

научном представлении о мире им не находилось места. Это представление

восходит еще к Галилео Галилею, чье мастерство владения абстракцией,

вступающей в противоречие с интуицией, дает пример современного научного

рассуждения. Его кредо, сформулированное им самим в 1623 году, гласит:

Вся наука записана а этой великой книге - я имею в виду Вселенную, -

которая всегда открыта для нас, но которую нельзя понять, не научившись

понимать язык, на котором она написана. А написана она на языке

математики, и ее буквами являются треугольники, окружности и другие

геометрические фигуры, без которых человеку невозможно разобрать ни одного

ее слова; без них он подобен блуждающему во тьме. Понадобилось почти

350 лет, чтобы выйти за рамки галилеевского представления - до тех пор,

пока Бенуа Мандельброт не разработал понятие фрактала. Бросая взгляд в

прошлое, он размышлял в 1984 году:

Почему геометрию часто называют холодной и сухой? Одна из причин

заключается в ее неспособности описать форму облака, горы, дерева или

берега моря. Облака - это не сферы, горы - это не конусы, линии берега -

это не окружности, и кора не является гладкой, и молния не

распространяется по прямой... Природа демонстрирует нам не просто более

высокую степень, а совсем другой уровень сложности. Число различных

масштабов длин в структурах всегда бесконечно.

Математическое понятие фрактала выделяет объекты, обладающие

структурами различных масштабов, как больших, так и малых, и, таким

образом, отражает иерархический принцип организации. В основе этого

понятия содержится одна важная идеализация действительности: фрактальные

объекты самоподобны, т. е. их вид не претерпевает существенных изменений

при разглядывании их через микроскоп с любым увеличением. Хотя эта

идеализация и может оказаться слишком большим упрощением

действительности, она на порядок увеличивает глубину нашего

математического описания природы. Исследования Мандельброта получили

широкую известность после открытия им в 1980 году множества, носящего

теперь его имя. Он обнаружил принцип, с помощью которого несколько

неожиданным путем образуется целый мир самоподобных структур.

Эта причудливая форма (см. рис.1) может оказаться одним из ключевых

элементов некоторой новой “натуральной” математики, так же, как прямая

линия является одним из основных элементов евклидовой геометрии.

Возможно, наиболее убедительный аргумент в пользу изучения фракталов

- это их бросающаяся в глаза красота.

Глава 2

МЫШЛЕНИЕ В ОБРАЗАХ

Рассматриваемые здесь процессы возникают в различных физических и

математических задачах. Все они имеют одно обшее - это конкуренцию

нескольких центров за доминирование на плоскости. Простые границы между

территориями в результате такого соперничества возникают редко. Чаше имеет

место нескончаемое филигранное переплетение и непрекращающаяся борьба даже

за самые малые участки.

Именно в этой пограничной области происходит переход от одной формы

существования к другой: от порядка к беспорядку, от намагниченного

состояния к ненамагниченному в зависимости от интерпретации тех сущностей,

которые примыкают к границе. Пограничные области в большей или меньшей мере

замысловато зависят от условий, характеризующих изучаемый процесс. Порой

возникает третий конкурент, который пользуется разногласиями двух других и

насаждает свою область влияния. Может случиться, что один центр захватит

всю плоскость, но и его власть имеет “границы” в виде изолированных точек,

которые неподвластны его притяжению. Это, так сказать, “диссиденты”, не

желающие “принадлежать”.

Рисунки представляют процессы, являющиеся, конечно, весьма

упрошенной идеализацией действительности. Они преувеличивают некоторые

свойства, чтобы сделать их более ясными. Например, нет ни одной реальной

структуры, которую можно было бы последовательно увеличивать бесконечное

число раз и которая выглядела бы при этом неизменной. Тем не менее принцип

самоподобия в приближенном виде имеется в природе: в линиях берегов морей

и рек, в очертаниях облаков и деревьев, в турбулентном потоке жидкости и в

иерархической организации живых систем. А открыл нам глаза на эту

фрактальную геометрию природы Бенуа Б. Мандельброт. На самом деле

процессы, порождающие такие структуры, довольно давно изучаются в

математике и физике. Это обычные процессы с обратной связью, в которых одна

и та же операция выполняется снова и снова, когда результат одной

итерации является начальным значением для следующей:

C

[pic]

[pic]

[pic]

и

и

Единственное, что при этом требуется - нелинейная зависимость между

результатом и начальным значением, т. е. динамический закон [pic] должен

быть более сложным, чем простая пропорциональность [pic]. Схематическая

диаграмма указывает на то, что правило[pic] зависит от параметра c,

влияние которого будет обсуждаться ниже.

Если начать итерационный процесс указанного вида с некоторого

произвольного значения [pic], то его результатом будет

последовательность[pic], поведение которой по истечении достаточно

большого периода времени и будет составлять предмет нашего интереса. Будет

ли последовательность сходиться к некоторому предельному значению Х,

стремясь к состоянию покоя? Придет ли она к некоторому циклу значений,

которые будут повторяться вновь и вновь? Или эта последовательность все

время ведет себя беспорядочно, хотя и определена динамическим законом и

конкретным начальным значением, но тем не менее непредсказуема?

Процессы указанного вида обнаруживаются в любой точной науке. Так,

описание явлений природы с помощью дифференциальных уравнений, которое

ввели около 300 лет назад Исаак Ньютон и Готтфрид В. Лейбниц, основано на

принципе обратной связи. Динамический закон определяет положение и

скорость частицы в данный момент времени через их значения в предыдущий

момент. Движение частицы понимается как реализация этого закона.

Несущественно, будет ли процесс дискретным, т. е. осуществляемым по шагам,

либо непрерывным. Физикам нравится мыслить в терминах

инфинитезимальных единиц времени: Natura non facit saltus (“Природа не

делает скачков”). Биологи, напротив, часто предпочитают рассматривать

изменения от года к году или от поколения к поколению. Очевидно,

допустимы обе точки зрения, а выбор подходящего описания определяется

обстоятельствами.

Глава 3

СЦЕНАРИЙ ПРОНИКНОВЕНИЯ В ХАОС

Рассмотрим пример. Рост некоторой популяции за несколько лет обычно

описывают при помощи коэффициента прироста, т. е. отношения ежегодного

прироста численности популяции к ее общей численности. Если эта величина

остается постоянной в течение всего периода времени, то говорят, что закон

роста является линейным, а сам рост называют экспоненциальным. Например,

при коэффициенте прироста в 5% популяция удваивает свою численность

каждые 14 лет. Законы такого типа, однако, применимы только на

ограниченных промежутках времени. Для роста всегда существуют пределы.

Одним из первых обратил на это внимание П. Ф. Ферхюльст,

сформулировав в 1845 году закон, содержащий ограничение на рост. Он

Страницы: 1, 2, 3, 4