Контрольная работа: Математические модели физико-химических процессов

Контрольная работа: Математические модели физико-химических процессов

Контрольная работа

1.  Написать соотношение между удельным весом γ и плотностью ρ. Привести формулы для расчета ρ для газов. Привести значения ρ и γ для воды и ρ для воздуха

Удельный вес (вес единицы объема) γ и плотность (масса единицы объема) ρ связаны зависимостью:

,

где g=9,81 м/с2 – ускорение свободного падения.

Так как в СИ за единицу массы принята масса некоторого эталона, а в технической системе МКГСС за единицу силы (кгс) принят вес этого же эталона, то плотность в единицах СИ (кг/м3) численно равняется удельному весу в единицах системы МКГСС (кгс/м3).

На основании уравнений Клапейрона, плотность ρ любого газа при температуре Т и давлении р может быть рассчитана по формуле:

,

где ρ0=М/22,4 кг/м3 – плотность газа при нормальных условиях (Т=0єС, атм. давление); М – мольная масса газа кг/кмоль; Т – температура, К. давление р и р0 должны быть выражены в одинаковых единицах.

Плотность смеси газов:

,

где у1, у2,…уn – объемные доли компонентов газовой смеси; ρ1, ρ2, …, ρn – соответствующие плотности компонентов.

Плотность воды ρв в интервале температур от 0 до 100єС с достаточной для технических расчетов точностью можно считать равной ρв=1000 кг/м3. Удельный вес:

кг/(м2∙с2)

Плотность воздуха ρвозд=1,29 кг/м3

2.  Кинематическая υ и динамическая μ вязкости жидкостей и газов. Влияние на них давления и температуры. Привести значения υ и μ для воды и воздуха

Сила внутреннего трения, т.е. сила, проявляющаяся при перемещении одного слоя жидкости относительно другого, прямо пропорциональна относительной скорости перемещения и величине поверхности соприкосновения этих слоев. Она зависит от свойств жидкости и не зависит от давления.

,

Где μ – коэффициент пропорциональности, зависящий от свойств жидкости и называется коэффициентом вязкости; dω/dn – приращение (производная) скорости, приходящаяся на единицу длины расстояния между двумя слоями (градиент скорости).

Таким образом, из этого уравнения коэффициент вязкости:

Принимая F=1 см2; n=1 см; ω=1 см/с, находим, что μ=k (дн∙с/см2)

Абсолютной единицей динамической вязкости называют вязкость такой жидкости, в которой сила 1 дн перемещает находящиеся на расстоянии 1 см друг от друга слои жидкости с поверхностью в 1 см2 каждый один относительно другого со скоростью 1 см/с. Абсолютную единицу динамической вязкости называют пуазом.

Кинематический коэффициент вязкости υ связан с динамическим коэффициентом вязкости соотношением:

Единицей кинематической вязкости является стокс (ст), равный 1 см2/с.

Вязкость можно рассматривать как функцию трения молекул друг о друга, зависящего от их строения и пространственного расположения. Поэтому изменение температуры жидкости существенно влияет на величину вязкости. Вязкость капельных жидкостей сильно уменьшается с повышением температуры и тем быстрее, чем выше величина вязкости. Вязкость газов, наоборот, с возрастанием температуры увеличивается.

Для капельно-жидких тел зависимость вязкости от температуры не удается выразить одной общей формулой. Значения динамического коэффициента вязкости μ при различных температурах можно определить по справочным таблицам и номограммам. Существует ряд эмпирических формул, применимых к большому числу жидкостей. Например:

 ,

где μ – динамический коэффциент вязкости жидкости при атмосферном давлении и 20єС, мП; ρ – плотность жидкости, кг/м3; М – мольная масса кг/кмоль; А – число одноименных атомов в молекуле органического соединения; n – численное значение атомной константы; р – поправка на группировку атомов и характер связи между ними. Атомные константы n и численные значения поправок р приведены в справочных таблицах.

Для смеси нормальных (неассоциированных)жидкостей значение μсм может быть вычислено по формуле:

lgμсм=х1lgμ1+х2lgμ2+…+хnlgμn ,

где μ1, μ2 – динамические коэффициенты вязкости отдельных компонентов; х1, х2 – мольные доли компонентов в смеси.

Молекулярно-кинетическая теория объясняет вязкость движением и взаимодействием молекул. В газах расстояния между молекулами существенно больше радиуса действия молекулярных сил, поэтому вязкость газов определяется главным образом молекулярным движением. Между движущимися относительно друг друга слоями газа происходит постоянный обмен молекулами, обусловленный их непрерывным хаотическим (тепловым) движением. Переход молекул из одного слоя в соседний, движущийся с иной скоростью, приводит к переносу от слоя к слою определённого количества движения. В результате медленные слои ускоряются, а более быстрые замедляются. Работа внешней силы F, уравновешивающей вязкое сопротивление и поддерживающей установившееся течение, полностью переходит в теплоту.

Вязкость идеального газа не зависит от его плотности (давления), так как при сжатии газа общее количество молекул, переходящих из слоя в слой, увеличивается, но зато каждая молекула менее глубоко проникает в соседний слой и переносит меньшее количество движения (закон Максвелла). Для вязкости идеальных газов в молекулярно-кинетической теории даётся следующее соотношение:

,

Где ρ – число молекул в единице объема; (ν) – средняя скорость теплового движения молекул, λ – средняя длина свободного пробега

Изменение динамического коэффициента вязкости газов с температурой выражается формулой:

,

где μ0 – динамический коэффициент вязкости при 0єС; Т – температура, К; С – постоянная Сатерленда

Зависимость вязкости жидкостей от давления выражается уравнением :

,

где μр и μ0 - динамическая вязкость при давлении p и атмосферном давлении, Па∙с; e - основание натуральных логарифмов; αр - пьезокоэффициент вязкости, Па-1∙с-1 (для нефтяных масел лежит в пределах 0,001-0,004).

При высоком давлении вязкость может возрасти настолько, что масло потеряет свойства жидкости и превратится в квазипластичное тело. При давлении более 1015 Па минеральное масло превращается в твердое тело. При снятии нагрузки первоначальная вязкость восстанавливается. Вязкость масел при всех температурах с увеличением давления растет неодинаково и тем значительнее, чем выше давление и ниже температура

Динамическая вязкость воды при 4єС принята равной 1,005·10–3 Н·c/м2 = 1,005 мН·с/м2 ~ 1 спз. Кинематическая вязкость воды при 4єС принята равной 1,0068·10–6 м2/с.

Динамический коэффициент вязкости воздуха при температуре 0єС и атмосферном давлении μ=17.20∙10-6 Па∙с.

3.  Напишите основное уравнение гидростатики. Из какого уравнения его получают, примеры практического применения. Как рассчитывается давление жидкости на дно и стенки сосуда?

Основное уравнение гидростатики:

,

где z1, z2 – высота погружения двух точек жидкости; р0, р – гидростатическое давление в этих точках соответственно; γ – удельный вес жидкости. Часто основное уравнение гидростатики записывают в следующем виде:

р=р0+ρgh,

где р – гидростатическое давление на глубине h от поверхности жидкости; р0 – давление жидкости на поверхности жидкости; ρ – плотность жидкости; g – ускорение свободного падения.

Выводится основное уравнение гидростатики из системы дифференциальных уравнений Эйлера:

Из основного уравнения гидростатики следует равенство уровней в сообщающихся сосудах, а также закон Архимеда, закон Паскаля.

Если жидкость поместить в какой-либо сосуд, то гидростатическое давление на отдельные части площади горизонтального дна сосуда везде одинаково, давление же на боковые стенки возрастает с увеличением глубины погружения; при этом давление на дно сосуда не зависит от формы или угла наклона боковых стенок:

Р = р0+ρgН

Общее давление Р на горизонтальное дно не зависит от формы сосуда и объема жидкости в нем:

Р = рF,

Где F – площадь дна сосуда.

Так как гидростатическое давление жидкости на вертикальную стенку сосуда изменяется по ее высоте. То общее давление на нее распределяется неравномерно:

Р = (р0 + ρgz)F,

где z – расстояние от верхнего уровня жидкости до центра тяжести смоченной поверхности стенки; это расстояние зависит от геометрической формы стенки. Центр давления на прямоугольную стенку располагается от верхнего уровня жидкости на расстоянии С=2/3Н.

4.  Охарактеризовать два режима жидкостей. Эквивалентный диаметр – для чего ведено это понятие?

При достаточно медленном движении жидкости в прямолинейном направлении пути отдельных ее частиц представляют собой параллельные прямые, образующие на поворотах правильную систему кривых. Такое движение называется струйчатым или ламинарным. При больших скоростях отдельные частицы жидкости, даже в случае прямолинейного направления движения, будут двигаться беспорядочно, по запутанным кривым в различных направлениях, причем эти пути будут постоянно изменяться. Такое движение называется вихревым или турбулентным.

Критерий, характеризующий гидродинамический режим движения жидкости называется критерием Рейнольдса и является мерой отношения сил инерции и внутреннего трения в потоке:

,

где ω – средняя скорость потока, м/с; d – диаметр трубопровода, м; ρ – плотность жидкости кг/м3; μ – динамический коэффициент вязкости, Па∙с; ν – кинематический коэффициент вязкости, м2/с.

Для потоков, проходящих по прямым трубам, характерны следующие значения критерия Рейнольдса:

Ламинарное течение Rе˂2300

Переходная область 2300˂Rе˂10000

Развитое турбулентное течение Rе˃10000

Для потоков некруглого поперечного сечения в выражение для вычисления критерия Рейнольдса подставляется эквивалентный диаметр, равный четырем гидравлическим радиусам. Гидравлический радиус rг представляет собой отношение площади поперечного сечения потока f к омываемому потоком (смоченному) периметру П:

Для трубы круглого сечения, сплошь заполненной жидкостью:

Следовательно, для потоков некруглого сечения вместо диаметра можно применять эквивалентный диаметр:

5.  Написать уравнение расхода и неразрывности потока (материальный баланс потока) в интегральной (не дифференциальной) форме

Объемный расход жидкости или газа:

,

где V – объемный расход жидкости или газа, м3/с; f – площадь поперечного сечения потока, м2; ω – средняя скорость потока, м/с;

Массовый расход жидкости или газа:

,

где М – массовый расход жидкости или газа, кг/с; ρ – плотность жидкости или газа, кг/м3

при установившемся движении жидкости по закрытому трубопроводу и отсутствии утечки через неплотные соединения через каждое поперечное сечение трубопровода в единицу времени протекает одно и то же весовое количество жидкости. Это явление характеризуется уравнением неразрывности или сплошности потока:

G1=G2=G3=соnst

или

f1ω1γ1= f2ω2γ2= f3ω3γ3=соnst

для несжимаемых (капельных) жидкостей, удельный вес которых остается неизменным по длине трубопровода, уравнение неразрывности принимает следующий вид:

f1ω1= f2ω2= f3ω3=соnst

При неустановившемся движении изменение массы жидкости, заключенной в данном объеме и проходящей через каждое поперечное сечение трубопровода, происходит только за счет изменения ее плотности в этом объеме.

6.  Написать уравнение Бернулли (энергетический баланс потока) для идеальной и реальной жидкостей. Объяснить, что обозначают составляющие этого уравнения. Назвать случаи практического использования уравнения Бернулли

Для любого сечения трубопровода, при установившемся движении идеальной жидкости, сумма скоростного и статического напоров и нивелирной высоты есть величина постоянная

Величина

называется гидродинамическим напором. Он складывается из следующих величин:

z – нивелирной высоты, называемой также геометрическим напором и представляющей собой высоту (м) данной частицы жидкости относительно произвольно выбранной горизонтальной плоскости сравнения;

- статического или пьезометрического напора, равного давлению столба жидкости над рассматриваемым уровнем. Статический напор имеет размерность длины (м);

- скоростного или динамического напора, кторый также иммет размерность длины (м)

Все члены уравнения Бернулли имеют одну размерность и наглядно изображаются графически (рис.1)

Рис. 1. Диаграмма Бернулли для идеальной жидкости при установившемся движении

Уравнение Бернулли выражает частный случай закона сохранения энергии. Любой напор в трубопроводе можно рассматривать как энергию жидкости, отнесенную либо к 1 кгс, либо к 1 м3 жидкости. В энергетической форме уравнение Бернулли для жидкости, перемещающейся без трения, может быть сформулировано следующим образом: для любого сечения трубопровода при установившемся движении невязкой жидкости сумма потенциальной  и кинетической  энергии жидкости, движущейся по трубопроводу, остается величиной постоянной.

При изменении сечения трубопровода и соответственно скорости движения жидкости происходит превращение энергии: при сужении трубопровода часть потенциальной энергии может перейти в кинетическую и наоборот, при расширении трубопровода часть кинетической энергии может перейти в потенциальную причем количество энергии остается неизменным.

При движении реальных жидкостей возникают силы трения, обусловленные вязкостью жидкости, характером ее движения, трением о стенки трубы и пр. на преодоление возникающего сопротивления должна расходоваться некоторая часть энергии, и общее количество энергии по длине трубопровода будет непрерывно уменьшаться за счет перехода потенциальной энергии в энергию, затрачиваемую на трение (энергию потерянную). В этом случае сумма членов уравнения Бернулли будет величиной постоянной только при учете потери энергии:

,

где hп – потеря энергии или потеря напора в м.

для любого сечения трубопровода, в котором протекает реальная жидкость, при установившемся движении. Сумма напоров скоростного hск., статического hст. нивелирного z и потерянного hп есть величина постоянная.

В случае протекания жидкости по горизонтальному трубопроводу, при установившемся движении, нивелирные высоты для всех сечений трубопровода будут одни и те же, следовательно величина z из уравнения Бернулли может быть в этом случае исключена, и уравнение примет следующий вид:

Для любого сечения горизонтального трубопровода, при установившемся движении жидкости, общий напор равен сумме скоростного, статического и потерянного напоров.

Применяется уравнение Бернулли для расчета движения жидкости по наклонному трубопроводу, для расчета истечение жидкости через отверстие в дне или стенке сосуда при постоянном уровне жидкости в сосуде, при переменном уровне жидкости в сосуде, для расчета истечения жидкости через водослив.

7.  Сущность физического (с использованием теории подобия) и математического моделирования

Наиболее перспективный метод решения задач исследования и расчета химико-технологических процессов – теоретический метод, основанный на составлении и решении дифференциальных уравнений, полностью описывающих процесс. Для практического использования этих уравнений следует при их решении учитывать ограничения, вытекающие из свойств конкретного явления (процесса). Однако многие химико-технологические процессы настолько сложны, что удается лишь составить систему дифференциальных уравнений для их описания и установить условия однозначности. Решить эти уравнения известными в математике методами не представляется возможным. В подобных случаях используют метод моделирования. Под моделированием понимают метод исследования химико-технологических процессов на моделях, отличающихся от объектов моделирования (натуры) в основном масштабом. Моделирование можно осуществлять двумя основными методами – методом обобщенных переменных или методом теории подобия (физическое моделирование), и методом численного эксперимента (математическое моделирование). Принципиального различия между этими методами нет, поскольку оба они в большей или меньшей степени основаны на экспериментальных данных и различаются лишь подходом к их обработке и анализу.

Одним из основных принципов теории подобия является выделение из класса явлений (процессов), описываемых общим законом группы подобных явлений. Подобными называют такие явления, для которых отношения сходственных и характеризующих их величин постоянны. Различают следующие виды подобия: геометрическое, временное, физических величин, начальных и граничных условий.

Геометрическое подобие предполагает, что сходственные размеры натуры и модели параллельны, а их отношение выражается постоянной величиной, называемой константой геометрического подобия или масштабным (переходным) множителем.

Временное подобие предполагает, что сходственные точкиили части геометрически подобных систем (натуры и модели), двигаясь по геометрически подобным траекториям, проходят геометрически подобные пути в промежутки времени, отношение которых является постоянной величиной.

Подобие физических величин предполагает, что в рассматриваемых подобных системах (натуры и модели) отношение значений физических величин двух любых сходственных точек или частиц, подобно размещенных в пространстве и времени, есть величина постоянная. Подобие физических величин включает подобие не только физических констант, но и совокупности значений физических величин, или полей физических величин. Таким образом, при соблюдении геометрического и временного подобия будет соблюдаться также подобие скоростей, температур, концентраций и других физических величин.

Подобие начальных и граничных условий предполагает, что начальное состояние и состояние на границах систем (натуры и модели) подобны, т.е. отношения параметров в начале и на границах систем постоянны. Это справедливо лишь в тех случаях, когда для начальных и граничных условий систем выдерживаются геометрическое, временное и физическое подобия.

Все константы подобия постоянны для различных сходственных точек подобных систем, но изменяются в зависимости от соотношения размеров натуры и модели. Это обстоятельство представляет большие неудобства для масштабирования и преодолевается введением т.н. инвариантов подобия. Если все сходственные величины, определяющие состояние данной системы (натуры) и подобной ей системы (модели), измерять в относительных единицах, т.е. брать сходственное отношение величин для каждой системы, то оно также будет величиной постоянной и безразмерной. Такие числа называются инвариантами подобия.

Инварианты подобия, представляющие собой отношения однородных величин, называют симплексами или параметрическими критериями. Инварианты подобия, выраженные отношением разнородных величин, называют критериями подобия (например критерий Рейнольдса Rе)

Таким образом, явления, подобные между собой, характеризуются численно равными критериями подобия. Равенство критериев подобия – единственное количественное условие подобия процессов. отношение констант подобия называют индикатором подобия и равно 1, следовательно у подобных явлений индикаторы подобия равны единице.

Любая зависимость между переменными, характеризующими какое-либо явление (т.е. система дифференциальных уравнений), может быть представлена в виде зависимости между критериями подобия:

F(К1, К2, К3,…)=0

Эту зависимость называют обобщенным (критериальным) уравнением, а критерии подобия Кi – обобщенными переменными величинами.

Таким образом, теория подобия дает возможность представить решение дифференциальных уравнений и обрабатывать экспериментальные данные в виде обобщенных критериальных уравнений. Если какой-либо эффект в исследуемом процессе становится очень слабым по сравнению с другими, то его влиянием можно пренебречь. В этом случае критерии, характеризующие интенсивность этого эффекта могут быть опущены из рассмотрения, и процесс приобретает свойство автомодельности, т.е. независимости от этих критериев. Такое моделирование называют приближенным.

Таким образом, теория подобия указывает, как надо ставить опыты и обрабатывать опытные данные, чтобы, ограничившись минимальным числом опытов, иметь основание обобщать их результаты и получать закономерности для целой группы подобных явлений. Теория подобия позволяет с достаточной для практики точностью изучать сложные процессы на моделях (значительно меньших по размерам и часто более простых, чем аппараты натуральной величины), используя при этом не рабочие вещества (иногда токсичные, пожаро- и взрывоопасные, дорогостоящие и т.п.), а модельные (например воду, воздух и т.п.)

Математическое моделирование – это по существу определение свойств и характеристик рассматриваемого явления (процесса) путем решения (как правило с помощью ЭВМ) систем уравнений, описывающих этот процесс – математической модели. При этом очень важно составить модель так, чтобы она достаточно точно отражала основные свойства рассматриваемого процесса и в то же время была доступной для исследования.

Математическое моделирование по существу является одним из методов физического моделирования и составляет с ним единую систему исследования объектов познания. Общая схема процесса математического моделирования (численного эксперимента) включает 8 исследовательских этапов:

1.  Постановка задачи. Определяет не только цель, но и пути решения данной задачи;

2.  Анализ теоретических основ процесса (составление физической модели процесса). На этой стадии необходимо выявить, какие фундаментальные законы лежат в основе данного процесса;

3.  Составление математической модели процесса. Различают два основных вида математиченских моделей: детерминированные (аналитические), построенные на основе физико-химической сущности, т.е. механизма изучаемых процессов и статистические (эмпирические), полученные в виде уравнений регрессии на основе обработки экспериментальных данных;

4.  Алгоритмизация математической модели. Следует выбрать общий подход к решению задачи и определить совокупность критериев, которым должна удовлетворять полученная система уравнений модели. Кроме того, здесь же необходимо провести анализ задачи (математический и физический), который должен подтвердить существование и единственность решения;

Страницы: 1, 2, 3, 4