рефераты скачать
 
Главная | Карта сайта
рефераты скачать
РАЗДЕЛЫ

рефераты скачать
ПАРТНЕРЫ

рефераты скачать
АЛФАВИТ
... А Б В Г Д Е Ж З И К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

рефераты скачать
ПОИСК
Введите фамилию автора:


Реферат: Управление техническими системами (лекции)

                                      ,                      (2.1)

где х и у - входная и выходная величины. Если в данное уравнение вместо x(t) и y(t) подставить функции X(s) и Y(s) комплексного переменного s такие, что

                             и        ,                  (2.2)

то исходное ДУ при нулевых начальных условиях равносильно линейному алгебраическому уравнению

a2 s2 Y(s) + a1 s Y(s) + a0 Y(s) = b1 X(s) + b0 X(s).

          Такой переход от ДУ к алгебраическому уравнению называется преобразованием Лапласа, формулы (2.2) соответственно формулами преобразования Лапласа, а полученное уравнение - операторным уравнением.

          Новые функции X(s) и Y(s) называются изображениями x(t) и y(t) по Лапласу, тогда как x(t) и y(t) являются оригиналами по отношению к X(s) и Y(s).

          Переход от одной модели к другой достаточно прост и заключается в замене знаков дифференциалов  на операторы sn, знаков интегралов  на множители , а самих x(t) и y(t) - изображениями X(s) и Y(s).

          Для обратного перехода от операторного уравнения к функциям от времени используется метод обратного преобразования Лапласа. Общая формула обратного преобразования Лапласа:

                                              ,                               (2.3)

где f(t) - оригинал, F(jw) - изображение при s = jw, j - мнимая единица, w - частота.

          Эта формула достаточно сложна, поэтому были разработаны специальные таблицы (см. табл. 1.1 и 1.2), в которые сведены наиболее часто встречающиеся функции F(s) и их оригиналы f(t). Они позволяют отказаться от прямого использования формулы (2.3).

Таблица 1.2 - Преобразования Лапласа

Оригинал x(t)

Изображение X(s)

d-функция 1
1

t

t2

tn

e-at

a.x(t)

a.X(s)

x(t - a)

X(s).e-as

sn.X(s)

Таблица 1.2 - Формулы обратного преобразования Лапласа (дополнение)

Изображение X(s)

Оригинал x(t)

a Î R, M Î R

(a и М - действительные числа)

M.e-at

a = a1 + j. a2

M = M1 + j.M2

(a и М - комплекные)

2.e-a1t.[M1.cos(a2.t) - M2.sin(a2.t)]

          Закон изменения выходного сигнала обычно является функцией, которую необходимо найти, а входной сигнал, как правило, известен. Некоторые типовые входные сигналы были рассмотрены в п. 2.3. Здесь приводятся их изображения:

единичное ступенчатое воздействие имеет изображение X(s) = ,

дельта-функция X(s) = 1,

линейное воздействие X(s) = .

          Пример. Решение ДУ с использованием преобразований Лапласа.

          Допустим, входной сигнал имеет форму единичного ступенчатого воздействия, т.е. x(t) = 1. Тогда изображение входного сигнала X(s) = .

          Производим преобразование исходного ДУ по Лапласу и подставляем X(s):

s2Y + 5sY + 6Y = 2sX + 12X,

s2Y + 5sY + 6Y = 2s + 12,

Y(s3 + 5s2 + 6s) = 2s + 12.

          Определяется выражение для Y:

.

          Оригинал полученной функции отсутствует в таблице оригиналов и изображений. Для решения задачи его поиска дробь разбивается на сумму простых дробей с учетом того, что знаменатель может быть представлен в виде s(s + 2)(s + 3):

==++=

= .

          Сравнивая получившуюся дробь с исходной, можно составить систему из трех уравнений с тремя неизвестными:

                             М1 + М2 + М3 = 0                             M1 = 2

                             5.М1 + 3.М2 + 2.М3 = 2 à               M2 = -4

                             6.М1 = 12                                          M3 = 2

          Следовательно, дробь можно представить как сумму трех дробей:

=-+.

          Теперь, используя табличные функции, определяется оригинал выходной функции:

y(t) = 2 - 4.e-2t + 2.e-3t.     ¨

          2.6. Передаточные функции.

          2.6.1 Определение передаточной функции.

          Преобразование ДУ по Лапласу дает возможность ввести удобное понятие передаточной функции, характеризующей динамические свойства системы.

          Например, операторное уравнение

3s2Y(s) + 4sY(s) + Y(s) = 2sX(s) + 4X(s)

можно преобразовать, вынеся X(s) и Y(s) за скобки и поделив друг на друга:

Y(s)*(3s2 + 4s + 1) = X(s)*(2s + 4)

.

          Полученное выражение называется передаточной функцией.

Передаточной функцией называется отношение изображения выходного воздействия Y(s)  к изображению входного X(s) при нулевых начальных условиях.

                                                                                                         (2.4)

          Передаточная функция является дробно-рациональной функцией комплексной переменной:

,

где B(s) = b0 + b1s + b2 s2 + … + bm sm - полином числителя,

      А(s) = a0 + a1s + a2 s2 + … + an sn - полином знаменателя.

          Передаточная функция имеет порядок, который определяется порядком полинома знаменателя (n).

          Из (2.4) следует, что изображение выходного сигнала можно найти как

Y(s) = W(s)*X(s).

          Так как передаточная функция системы полностью определяет ее динамические свойства, то первоначальная задача расчета АСР сводится к определению ее передаточной функции.

          2.6.2 Примеры типовых звеньев.

          Звеном системы называется ее элемент, обладающий определенными свойствами в динамическом отношении. Звенья систем регулирования могут иметь разную физическую основу (электрические, пневматические, механические и др. звенья), но относится к одной группе. Соотношение входных и выходных сигналов в звеньях одной группы описываются одинаковыми передаточными функциями.

          Простейшие типовые звенья:

·     усилительное,

·     интегрирующее,

·     дифференцирующее,

·     апериодическое,

·     колебательное,

·     запаздывающее.

1) Усилительное звено.

Звено усиливает входной сигнал в К раз. Уравнение звена у = К*х, передаточная функция W(s) = К. Параметр К называется коэффициентом усиления.

    Выходной сигнал такого звена в точности повторяет входной сигнал, усиленный в К раз (см. рис. 1.15).

    Примерами таких звеньев являются: механические передачи, датчики, безынерционные усилители и др.

2) Интегрирующее.

2.1) Идеальное интегрирующее.

  Выходная величина идеального интегрирующего звена пропорциональна интегралу входной величины.

;  W(s) =

При подаче на вход звена воздействия выходной сигнал постоянно возрастает (см. рис. 1.16).

Это звено астатическое, т.е. не имеет установившегося режима.

2.2) Реальное интегрирующее.

Передаточная функция этого звена имеет вид:

W(s) = .

Переходная характеристика в отличие от идеального звена является кривой (см. рис. 1.17).

            Примером интегрирующего звена является двигатель постоянного тока с независимым возбуждением, если в качестве входного воздействия принять напряжение питания статора, а выходного - угол поворота ротора.

3) Дифференцирующее.

3.1) Идеальное дифференцирующее.

  Выходная величина пропорциональна производной по времени от входной:

;           W(s) = K*s

  При ступенчатом входном сигнале выходной сигнал представляет собой импульс (d-функцию).

3.2) Реальное дифференцирующее.

        Идеальные дифференцирующие звенья физически не реализуемы. Большинство объектов, которые представляют собой дифференцирующие звенья, относятся к реальным дифференцирующим звеньям.  Переходная характеристика и передаточная функция этого звена имеют вид:

W(s) = .

4) Апериодическое (инерционное).

  Этому звену соответствуют ДУ и ПФ вида:

;                 W(s) = .

Определим характер изменения выходной величины этого звена при подаче на вход ступенчатого воздействия величины х0.

  Изображение ступенчатого воздействия: X(s) = . Тогда изображение выходной величины:

Y(s) = W(s) X(s) =  = K x0 .

  Разложим дробь на простые:

   =  +  =  =  -  =  -

  Оригинал первой дроби по таблице: L-1{} = 1, второй:

L-1{} = .

  Тогда окончательно получаем:

y(t) = K x0 (1 - ).

  Постоянная Т называется постоянной времени.

          Большинство тепловых объектов являются апериодическими звеньями. Например, при подаче на вход электрической печи напряжения ее температура будет изменяться по аналогичному закону (см. рис. 1.19).

5) Колебательное звено имеет ДУ и ПФ вида

 ,

W(s) = .

При подаче на вход ступенчатого воздействия амплитудой х0 на переходная кривая будет

 иметь один из двух видов: апериодический (при Т1 ³ 2Т2) или колебательный (при Т1 < 2Т2).

6) Запаздывающее.

y(t) = x(t - t),                 W(s) = e-ts.

          Выходная величина у в точности повторяет входную величину х с некоторым запаздыванием t. Примеры: движение груза по конвейеру, движение жидкости по трубопроводу.

          2.6.3 Соединения звеньев.

          Поскольку исследуемый объект в целях упрощения анализа функционирования разбит нами на звенья, то после определения передаточных функций для каждого звена встает задача объединения их в одну передаточную функцию объекта. Вид передаточной функции объекта зависит от последовательности соединения звеньев:

1) Последовательное соединение.

                                                                             Wоб = W1.W2.W3…

При последовательном соединении звеньев их передаточные функции перемножаются.

2) Параллельное соединение.

Wоб = W1 + W2 + W3 + …

При параллельном соединении звеньев их передаточные функции складываются.

3) Обратная связь

Передаточная функция по заданию (х):

«+» соответствует отрицательной ОС,

«-» - положительной.

          Для определения передаточных функций объектов, имеющих более сложные соединения звеньев, используют либо последовательное укрупнение схемы, либо преобразуют по формуле Мезона.

          2.6.4 Передаточные функции АСР.

   Для исследования и расчета структурную схему АСР путем эквивалентных преобразований приводят к простейшему стандартному виду «объект - регулятор».

Это необходимо, во-первых, для того, чтобы определить математические зависимости в системе, и, во-вторых, как правило, все инженерные методы расчета и определения параметров настройки регуляторов применены для такой стандартной структуры.

          В общем случае любая одномерная АСР с главной обратной связью путем постепенного укрупнения звеньев может быть приведена к такому виду.

          Если выход системы у не подавать на ее вход, то мы получим разомкнутую систему регулирования, передаточная функция которой определяется как произведение:

W¥ = Wp.Wy

(Wp - ПФ регулятора, Wy - ПФ объекта управления).

То есть последовательность звеньев Wp и Wy может быть заменена одним звеном с W¥. Передаточную функцию замкнутой системы принято обозначать как Ф(s). Она может быть выражена через W¥:

Фз(s) = = .

(далее будем рассматривать только системы с обратной отрицательной связью, поскольку они используются в подавляющем большинстве АСР).

          Данная передаточная функция Фз(s) определяет зависимость у от х и называется передаточной функцией замкнутой системы по каналу задающего воздействия (по заданию).

          Для АСР существуют также передаточные функции по другим каналам:

Фe(s) = =  - по ошибке,

Фв(s) = =  - по возмущению.

          Поскольку передаточная функция разомкнутой системы является в общем случае дробно-рациональной функцией вида W¥ = , то передаточные функции замкнутой системы могут быть преобразованы:

Фз(s) = = ,            Фe(s) == .

          Как видно, эти передаточные функции отличаются только выражения ми числителей. Выражение знаменателя называется характеристическим выражением замкнутой системы и обозначается как Dз(s) = A(s) + B(s), в то время как выражение, находящееся в числителе передаточной функции разомкнутой системы W¥, называется характеристическим выражением разомкнутой системы B(s).

 

          2.6.5 Определение параметров передаточной функции объекта по переходной кривой.

          Процесс получения передаточной функции объекта, исходя из данных о переходном процессе, называется идентификацией объекта.

          Предположим, что при подаче на вход некоторого объекта ступенчатого воздействия была получена переходная характеристика (см. рис. 1.26). Требуется определить вид и параметры передаточной функции.

Предположим, что передаточная функция имеет вид

,

(инерционной звено с запаздыванием).

     Параметры передаточной функции:

К - коэффициент усиления,

Т - постоянная времени,

t - запаздывание.

Коэффициентом усиления называется величина, показывающая, во сколько раз данное звено усиливает входной сигнал (в установившемся режиме), и равна отношению выходной величины у в установившемся режиме ко входной величине х:

,

Установившееся значение выходной величины ууст - это значение у при t ® ¥.

Запаздыванием t называется промежуток времени от момента изменения входной величины х до начала изменения выходной величины у.

Постоянная времени Т может быть определена несколькими методами в зависимости от вида передаточной функции. Для рассматриваемой передаточной функции 1-го порядка Т определяется наиболее просто: сначала проводится касательная к точке перегиба, затем находятся точки пересечения с осью времени и асимптотой yуст; время Т определяется как интервал времени между этими точками.

          В случае, если на графике между точкой перегиба имеется вогнутость, определяется дополнительное запаздывание tдоп, которое прибавляется к основному: t = t + tдоп.

          2.7. Частотные характеристики.

          2.7.1 Определение частотных характеристик.

          Известно, что динамические процессы могут быть представлены частотными характеристиками (ЧХ) путем разложения функции в ряд Фурье.

          Предположим, имеется некоторый объект и требуется определить его ЧХ. При экспериментальном снятии ЧХ на вход объекта подается синусоидальный сигнал с амплитудой Авх = 1 и некоторой частотой w, т.е.

                                                                   x(t) = Авхsin(wt) = sin(wt).

Тогда после прохождения переходных процессов на выходе мы будем также иметь синусоидальный сигналтой же частоты w, но другой амплитуды Авых и фазы j:       

                у(t) = Авыхsin(wt + j)

          При разных значениях w величины Авых и j, как правило, также будут различными. Эта зависимость амплитуды и фазы от частоты называется частотной характеристикой. Виды ЧХ:

·     АФХ - зависимость амплитуды и фазы от частоты (изображается на комплексной плоскости);

·     АЧХ - зависимость амплитуды от частоты;

·     ФЧХ - зависимость фазы от частоты;

·     ЛАХ, ЛАЧХ - логарифмические АЧХ.

        На комплексной плоскости входная величина x = Авх.sin(wt) для каждого момента времени ti определяется вектором х на комплексной плоскости. Этот вектор имеет длину, равную Авх, и отложен под углом wti к действительной оси. (Re - действительная ось, Im - мнимая ось)

          Тогда величину х можно записать в комплексной форме

х(t) = Авх(cos(wt) + j.sin(wt)),

где j = - мнимая единица.

          Или, если использовать формулу Эйлера eja = cosa + j.sina, то можно записать

х(t) = Авх.ejwt.

          Выходной сигнал y(t) можно аналогично представить как вектор

y(t) = Авых.ej(wt+j).

          Рассмотрим связь передаточной функции и частотной характеристики.

          Определим производные по Лапласу:

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7


рефераты скачать
НОВОСТИ рефераты скачать
рефераты скачать
ВХОД рефераты скачать
Логин:
Пароль:
регистрация
забыли пароль?

рефераты скачать    
рефераты скачать
ТЕГИ рефераты скачать

Рефераты бесплатно, реферат бесплатно, рефераты на тему, сочинения, курсовые работы, реферат, доклады, рефераты, рефераты скачать, курсовые, дипломы, научные работы и многое другое.


Copyright © 2012 г.
При использовании материалов - ссылка на сайт обязательна.