Развитие и взаимное влияние математики, философии и искусства

Íî êàê æå âåäåò ñåáÿ ïðîöåññ  Ôåðõþëüñòà,  êîãäà  êîýôôèöèåíò ñòàíîâèòñÿ áîëüøèì? Ïîäðîáíûé àíàëèç î÷åíü ñëîæåí.

Óïîìÿíåì òîëüêî íàèáîëåå âàæíûå ðåçóëüòàòû.  Êîãäà  ïàðàìåòðû ðîñòà ïðåâûñÿò 200%, ñòàíîâèòñÿ íåâîçìîæíûì äîñòèæåíèå îïòèìàëüíîé ÷èñëåííîñòè X. Êîãäà ïîïóëÿöèÿ  ìàëà,  ýíåðãè÷íûé  ðîñò  íåèçìåííî ïðèâîäèò ê ïðåâûøåíèþ îïòèìàëüíîãî ðàçìåðà, ÷òî  âûçûâàåò îòâåòíóþ ðåàêöèþ, â ðåçóëüòàòå êîòîðîãî ïîïóëÿöèÿ óìåíüøàåòñÿ  äî ðàçìåðîâ, çíà÷èòåëüíî ìåíüøèõ X. Ïîñëå ýòîãî ïîÿâëÿþòñÿ óñòîé÷èâûå êîëåáàíèÿ ìåæäó äâóìÿ ðàçìåðàìè, áîëüøèì è ìåíüøèì.

Êîãäà ïàðàìåòð ðîñòà ïðåâûñèò 245%, ïðîèñõîäèò äàëüíåéøåå óñ­ëîæíåíèå ïîâåäåíèÿ. Êîëåáàíèÿ ïðîèñõîäÿò ñíà÷àëà ìåæäó 4, çàòåì 8, çàòåì 16 ðàçëè÷íûìè âåëè÷èíàìè ÷èñëåííîñòè ïîïóëÿöèè è  òàê äàëåå, äî òåõ ïîð ïîêà äëÿ ïàðàìåòðîâ, áîëüøèõ 257%, íå âîçíèêàåò õàîñ.

×òî ìû ïîíèìàåì ïîä õàîñîì? Ïîïðîñòó ãîâîðÿ,  ñèñòåìà âûõîäèò èç ïîä êîíòðîëÿ. Íå ñóùåñòâóåò ñïîñîáà ïðåäñêàçàòü åå  ïîâåäåíèå íà äëèòåëüíîå âðåìÿ. Áåñïîðÿäî÷íûå ñêà÷êè ââåðõ è âíèç óïîðíî ïðîäîë­æàþòñÿ  è  íèêîãäà  íå  ïðåâðàòÿòñÿ  â óïîðÿäî÷åííóþ  ïîñëåäîâà­òåëüíîñòü. ×òîáû ïîíÿòü óäèâëåíèå, êîòîðîå èñïûòàë Ëîðåíö ïðè ýòîì îòêðûòèè, íàïîìíèì, ÷òî íèêàêîé íåîïðåäåëåííîñòè  íå ïðåäïîëàãàåò­ñÿ. Ïðîöåññ ïî-ïðåæíåìó îïèñûâàåòñÿ çàêîíîì Ôåðõþëüñòà, ïîñëåäîâà­òåëüíîñòü îïðåäåëåíà ñâîèì íà÷àëüíûì çíà÷åíèåì - è âñå æå åå ïîâå­äåíèå íåâîçìîæíî ïðåäñêàçàòü, îñòàåòñÿ ïðåäîñòàâèòü  ïðîöåññó ðàç­âèâàòüñÿ ñàìîìó ïî ñåáå.

Ýòà î÷åíü òîíêàÿ ñèòóàöèÿ òðåáóåò íåêîòîðîãî áîëåå ïîäðîáíîãî îáúÿñíåíèÿ. Óòâåðæäåíèå î òîì, ÷òî  ïîñëåäîâàòåëüíîñòü  îïðåäåëåíà ñâîèì íà÷àëüíûì çíà÷åíèåì, ïîäðàçóìåâàåò  âîçìîæíîñòü  îïðåäåëåíèÿ ïîñëåäóþùèõ çíà÷åíèé ñ áåñêîíå÷íîé òî÷íîñòüþ. Ýòî  ÿâëÿåòñÿ âåðíûì òîëüêî “â ïðèíöèïå”. Ëþáîå ðåàëüíîå îïèñàíèå  íà÷àëüíîé  âåëè÷èíû, íàïðèìåð åå ïðåäñòàâëåíèå â êîìïüþòåðå ìîæíî ïîëó÷èòü òîëüêî ñ êî­íå÷íîé òî÷íîñòüþ. Èçó÷àåìûé ïðîöåññ ìîæíî  ñðàâíèòü  ñ  ïîëó÷åíèåì èíôîðìàöèè: ÷åì äîëüøå ìû åãî áóäåì  íàáëþäàòü,  òåì  ëó÷øå  áóäåì çíàòü â ðåòðîñïåêòèâå òî÷íóþ âåëè÷èíó íà÷àëüíîãî çíà÷åíèÿ.

È âñå æå íàèáîëåå âïå÷àòëÿþùèì â äèíàìèêå Ôåðõþëüñòà ÿâëÿåòñÿ íå õàîñ êàê òàêîâîé, à ñöåíàðèé, ïî êîòîðîìó  ïîðÿäîê ïðåâðàùàåòñÿ â õàîñ. Èìååò ëè ñìûñë òî÷íî îïðåäåëÿòü çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ ðîñòà, ïðè êîòîðûõ ïðîèñõîäÿò áèôóðêàöèè îò êîëåáàíèé ïåðèîäà   ê êîëå­áàíèÿì ïåðèîäà ? Êîìó ýòî íóæíî?

Íî ïåäàíòè÷íîñòü ÷àñòî ñòîÿëà ó êîëûáåëè âàæíûõ îòêðûòèé. Èî­ãàíí Êåïëåð íå îòêðûë áû ýëëèïòè÷åñêîé ôîðìû  îðáèò  äâèæåíèÿ ïëà­íåò, åñëè áû íå áûë îáåñïîêîåí íåáîëüøèì îòêëîíåíèåì â  8  óãëîâûõ ìèíóò  îðáèòû  Ìàðñà  îò  ïðåäñêàçàíèé  òåîðèè  Ïòîëîìåÿ.  Ôðèäðèõ Âèëüãåëüì Áåññåëü íå ñìîã áû îïðåäåëèòü ðàññòîÿíèå  îò  Ñîëíöà  äî áëèæàéøèõ íåïîäâèæíûõ çâåçä, íå íàó÷èâøèñü  òî÷íåéøåìó èñïîëüçîâà­íèþ ÷èñåë è òàáëèö âî âðåìÿ ñâîåãî ó÷åíè÷åñòâà  ó  îäíîãî  èç áðå­ìåíñêèõ òîðãîâöåâ. Íàó÷íàÿ ðàáîòà âñåãäà çàâèñèò îò ñàìîãî ñêðóïó­ëåçíîãî âíèìàíèÿ ê äåòàëÿì äàæå òîãäà, êîãäà ñòàíîâèòñÿ  ÿñíîé êà­÷åñòâåííàÿ ñòîðîíà. À êàê èçâåñòíî âñåì, êîìó  ïðèõîäèëîñü  èñêàòü îøèáêè â êàêîé-ëèáî ïðîãðàììå, äëÿ ýòîãî íåò  ëó÷øåãî èíñòðóìåíòà, ÷åì êîìïüþòåð.

Ïðè òî÷íîì àíàëèçå òî÷åê áèôóðêàöèè â ïðîöåññå Ôåðõþëüñòà îá­íàðóæèâàåòñÿ çàêîíîìåðíîñòü, èìåþùàÿ èñêëþ÷èòåëüíîå çíà÷åíèå â ìè­ðå íåëèíåéíûõ ÿâëåíèé.  Çàêîíîìåðíîñòü  êàñàåòñÿ  äëèí  èíòåðâàëîâ çíà÷åíèé ïàðàìåòðà, ïðè êîòîðûõ óñòîé÷èâûì  ÿâëÿåòñÿ ïåðèîäè÷åñêîå äâèæåíèå ñ íåêîòîðûì îïðåäåëåííûì ïåðèîäîì. Ýòè èíòåðâàëû ñîêðàùà­þòñÿ ïðè êàæäîì óäâîåíèè ïåðèîäà, ïðè÷åì  ìíîæèòåëü, õàðàêòåðèçóþ­ùèé ñîêðàùåíèå, ïðèáëèæàåòñÿ ê óíèâåðñàëüíîìó çíà÷åíèþ

 = 4.669201660910...,

êîãäà ïåðèîä ðàñòåò.

Ýòî ÷èñëî, ïåðâûå  äåñÿòè÷íûå  çíàêè  êîòîðîãî  áûëè  âïåðâûå îïóáëèêîâàíû Ãðîññìàííîì è Òîìý â 1977 ãîäó,  ïîÿâëÿåòñÿ  ñíîâà  è ñíîâà âî ìíîãèõ äðóãèõ ïðîöåññàõ. Îíî ÿâëÿåòñÿ  òàêîé  æå õàðàêòå­ðèñòèêîé äëÿ ñöåíàðèåâ óäâîåíèÿ ïåðèîäîâ, êàê ÷èñëî   äëÿ îòíî­øåíèÿ äëèíû îêðóæíîñòè ê åå äèàìåòðó. Ýòî  ÷èñëî  íàçûâàþò  òåïåðü “÷èñëîì Ôåéãåíáàóìà”. Ìèò÷åë  Ôåéãåíáàóì  ïðîäåëàë  âû÷èñëåíèÿ  íà ñâîåì êàëüêóëÿòîðå â Ëîñ Àëàìîñå äëÿ öåëîãî ðÿäà ðàçëè÷íûõ ïðîöåñ­ñîâ è ïîëó÷èë â êàæäîì ñëó÷àå îäèí è òîò æå ìíîæèòåëü.  Îí  îòêðûë óíèâåðñàëüíîñòü ýòîãî ÷èñëà.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21